求证:n∈N*,（1+1/n)^n<(1+1/(n+1))^(n+1)
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解决时间 2021-02-14 20:29
- 提问者网友：趣果有间
- 2021-02-14 17:09
求证:n∈N*,（1+1/n)^n<(1+1/(n+1))^(n+1)
最佳答案
- 五星知识达人网友：一把行者刀
- 2021-02-14 17:28
证法很多，就说两种吧！
1、利用均值不等式：
(1+1/n)^n=1×(1+1/n)×(1+1/n)×……×(1+1/n)
≤｛[1+(1+1/n)+(1+1/n)+……+(1+1/n)]/(n+1)｝^(n+1)
=[(n+1+1)/(n+1)]^(n+1)=(1+1/(n+1))^(n+1)
2、构造函数利用其单调性，令f（x）=xln(1+1/x).（要用到极限）
则f′(x)=ln(1+1/x)-1/(1+x),而f〃(x)=-1/(x(x+1)^2)<0。
所以f′(x)单调递减且当x趋向于＋∞时f′(x)=0.
所以f′(x)恒大于0，即f(x)递增。结论成立。
1、利用均值不等式：
(1+1/n)^n=1×(1+1/n)×(1+1/n)×……×(1+1/n)
≤｛[1+(1+1/n)+(1+1/n)+……+(1+1/n)]/(n+1)｝^(n+1)
=[(n+1+1)/(n+1)]^(n+1)=(1+1/(n+1))^(n+1)
2、构造函数利用其单调性，令f（x）=xln(1+1/x).（要用到极限）
则f′(x)=ln(1+1/x)-1/(1+x),而f〃(x)=-1/(x(x+1)^2)<0。
所以f′(x)单调递减且当x趋向于＋∞时f′(x)=0.
所以f′(x)恒大于0，即f(x)递增。结论成立。
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