求助数学题 已知整数x、y满足方程y^2+3x^2y^2=30x^2+517,则3x^2y^2=?

求助数学题 已知整数x、y满足方程y^2+3x^2y^2=30x^2+517,则3x^2y^2=?

y²＋3x²y²＝30x²＋517y²﹙3x²＋1﹚＝10﹙3x²＋1﹚＋507﹙3x²＋1﹚﹙y²－10﹚＝507＝1×507＝3×169＝13×39∵ x、y均为整数,∴ 3x²＋1＝13,x²＝4y²－10＝39,y²＝49∴ 3x²y²＝3×4×49＝588.======以下答案可供参考======供参考答案1:将方程整理得（3y²-30）x²=517-y²所以x²=（517-y²）/（3y²-30）由于x²≥0所以（517-y²）/（3y²-30）≥0解得10由于x和y为整数，所以x²和y²为完全平方数所以y²=16,25,36,49,64,81,100,121，……484当y²=16时，x²=（517-16）/（3*16-30）=501/18 非完全平方数 舍去当y²=25时，x²=492/45 舍去当y²=36时，x²=486/78 舍去当y²=49时，x²=4 满足题意 此时 3x²y²=3x4x49=588当y²=64时，x²=453/162 舍去当y²=81时，x²=436/213 舍去当y²=100时，x²=417/270 舍去当y²=121时，x²=396/333 舍去当y²=144时，x²=373/402 舍去如下均不满足题意，舍去所以满足题意的解为x²=4，y²=49此时 3x²y²=3x4x49=588供参考答案2:由原方程得：y²=507/(1+3x²)+10等式右边须为完全平方数，所以：507/(1+3x²)≥6x≤5同时，507/(1+3x²)须为整数，所以分母须为奇数，所以：x须为偶数所以x=2或x=4验证得：x=2代入已知条件得：y=73x²y²=3*2²*7²=588

我学会了

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