4.1划线部分，根据有界性，怎么得出来的二分之一

4.1划线部分，根据有界性，怎么得出来的二分之一

证明极值定理的基本步骤为：1.证明有界性定理.2.寻找一个序列,它的像收敛于f的最小上界.3.证明存在一个子序列,它收敛于定义域内的一个点.4.用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界.有界性定理的证明假设函数f在区间[a,b]内没有上界.那么,根据实数的阿基米德原理,对于每一个自然数n,都存在[a,b]内的一个xn,使得f(xn)>n.这便定义了一个序列{xn}.由于[a,b]是有界的,根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理,可推出存在{xn}的一个收敛的子序列{x_{n_k}}.把它的极限记为x.由于[a,b]是闭区间,它一定含有x.因为f在x处连续,我们知道{f(x_{n_k})}收敛于实数f(x).但对于所有的k,都有f(x_{n_k})>nk≥k,这意味着{f(x_{n_k})}发散于无穷大.得出矛盾.因此,f在[a,b]内有上界.证毕.极值定理的证明我们现在证明函数f在区间[a,b]内有最大值.根据有界性定理,f有上界,因此,根据实数的戴德金完备性,f的最小上界M存在.我们需要寻找[a,b]内的一个d,使得M=f(d).设n为一个自然数.由于M是最小上界,M–1/n就不是f的最小上界.因此,存在[a,b]内的dn,使得M–1/n

应该意思就是说，有界函数的上界和下界都不是唯一的。是这个意思吧。函数的上界的定义：如果函数f（x）始终满足f（x）≤m（m是常数）那么m就称为f（x）的上界。函数的下界的定义：如果函数f（x）始终满足f（x）≥n（n是常数）那么n就称为函数的下界。由上界和下界的定义可知，如果一个函数有f（x）≤m始终成立，那么f（x）≤m+1也必然始终成立，所以m+1也符合f（x）的上界的定义，此外m+2，m+0.4，m+100等等有无数个满足f（x）上界定义的数，所以这些数都是f（x）的上界。同理，如果f（x）≥n始终成立，那么f（x）≥n-1也必然成立，所以n-1也符合f（x）下界的定义，此外n-2，n-4，n-0.2等等也有无数个满足f（x）下界定义的数，所以这些数都是f（x）的下界。因此f（x）如果有上界和下界，则上界和下界不是唯一的，是各有无数个的。而上界中，最小的那个，被称为上确界；下界中，最大的那个，被称为下确界。上确界和下确界才是唯一的。

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这个定义还不怎么难理解。函数有界就是指在函数的定义域内，这个函数的所有函数值的绝对值不会比某个固定的正数M大。显然这个固定的正数M不是唯一的，比如若有一个正数M1满足条件，则任何一个大于M1的正数M2也满足条件，都可以作为定义里的固定数M，就像你举的例子sinx那样。至于为什么要用函数值得绝对值形式，是因为若没有绝对值，f(x)<=M，函数不一定有下界，如在（-1，0）内，函数1/x<1，但此函数是无下界。因此有界是指函数既要有上界，又要有下界，这样才叫有界。

应该意思就是说，有界函数的上界和下界都不是唯一的。是这个意思吧。函数的上界的定义：如果函数f（x）始终满足f（x）≤m（m是常数）那么m就称为f（x）的上界。函数的下界的定义：如果函数f（x）始终满足f（x）≥n（n是常数）那么n就称为函数的下界。由上界和下界的定义可知，如果一个函数有f（x）≤m始终成立，那么f（x）≤m+1也必然始终成立，所以m+1也符合f（x）的上界的定义，此外m+2，m+0.4，m+100等等有无数个满足f（x）上界定义的数，所以这些数都是f（x）的上界。同理，如果f（x）≥n始终成立，那么f（x）≥n-1也必然成立，所以n-1也符合f（x）下界的定义，此外n-2，n-4，n-0.2等等也有无数个满足f（x）下界定义的数，所以这些数都是f（x）的下界。因此f（x）如果有上界和下界，则上界和下界不是唯一的，是各有无数个的。而上界中，最小的那个，被称为上确界；下界中，最大的那个，被称为下确界。上确界和下确界才是唯一的。

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