一道高三数学题3

已知函数f(x)和g(x)的图像关于点A(0,1)对称，且f(x)=x^2+6x+a
(1)求函数y=g(x)的解析式
（2）若g(x)≤6对所有x∈［0,2］时恒成立，求实数a的取值范围。

解：(1)在函数y=g（x）上任取一点(x,g(x))，

则其关于A（0，1）对称点的坐标为（-x，2-g(x)），

依题意（-x，2-g(x)）在函数f（x）=x²+6x+a上

∴2-g(x)=x²-6x+a

∴g（x）=-x²+6x+2-a

（2）设F（x）=g(x)-6，

∴F（x）=-x²+6x-4-a

∵g(x)≤6对所有x∈［0,2］时恒成立

即F（x）≤0在【0，2】上恒成立

由于F（x）的对称轴为x=3，图像开口向下

∴在【0，2】上F(x)单调递增

∴为使F（x）≤0在【0，2】上恒成立

则F(2)≤0

即F（2）=-4+12-4-a≤0

∴a≥4

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