在复平面上，|cosz|<=1是否成立?为什么？
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解决时间 2021-03-30 10:10
- 提问者网友：姑娘长的好罪过
- 2021-03-30 03:17
在复平面上，|cosz|<=1是否成立?为什么？
最佳答案
- 五星知识达人网友：轻雾山林
- 2021-03-30 03:35
不成立。
cosz=cos(x+iy)
=cosx*cosiy-sinx*siniy
=cosx*chy-isinxshy
于是 |cosz|=根号(cos^2xsh^y+sin^2xsh^2y)
=根号[(1-sin^2x)ch^2y+sin^2xsh^2y]
=根号[ch^2y-sin^2x(ch^2y-sin^2y)]
=根号(ch^2y-sin^2x) >=根号(ch^2y-1)
所以 |cosz|>=根号(ch^2y-1) =|shy|=|[e^y-e^(-y)]/2|
而上式右边当y->无穷时无限变大 可证明 cosz是无界的
cosz=cos(x+iy)
=cosx*cosiy-sinx*siniy
=cosx*chy-isinxshy
于是 |cosz|=根号(cos^2xsh^y+sin^2xsh^2y)
=根号[(1-sin^2x)ch^2y+sin^2xsh^2y]
=根号[ch^2y-sin^2x(ch^2y-sin^2y)]
=根号(ch^2y-sin^2x) >=根号(ch^2y-1)
所以 |cosz|>=根号(ch^2y-1) =|shy|=|[e^y-e^(-y)]/2|
而上式右边当y->无穷时无限变大 可证明 cosz是无界的
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