被积函数连续，证明：∫（0，π）f(sinx）dx=2∫(0,π／2)f(sinx）dx

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解决时间 2021-12-22 14:16

提问者网友：爱了却不能说
2021-12-21 14:53

更准确过程谢谢

最佳答案

五星知识达人网友：渊鱼
2022-01-10 03:32

解答：
换元法。
∫（0，π）f(sinx）dx
= ∫(0,π／2)f(sinx）dx+∫(π／2,π)f(sinx）dx
换元，将后式中的x换成π-t
= ∫(0,π／2)f(sinx）dx-∫(0,π/2,)f(sin(π-t)）d(π-t)
=∫(0,π／2)f(sinx）dx+∫(0,π/2)f(sin(t)）dt
=∫(0,π／2)f(sinx）dx+∫(0,π／2)f(sinx）dx
=2∫(0,π／2)f(sinx）dx
∴ ∫（0，π）f(sinx）dx=2∫(0,π／2)f(sinx）dx

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1楼网友：青尢
2022-01-10 03:38

证明：因为∫(0→π)f(sinx)dx=∫(0→π/2)f(sinx)dx+∫(π/2→π)f(sinx)dx 令x=π-t 则当x=π/2时 t=π/2 当x=π时 t=0 所以∫(π/2→π)f(sinx)dx =∫(π/2→0)f(sin(π-t))d(π-t) =-∫(π/2→0)f(sint)dt =∫(0→π/2)f(sint)dt =∫(0→π/2)f(sinx)dx(定积分与积分变量无关）于是∫(0→π)f(sinx)dx=∫(0→π/2)f(sinx)dx+∫(π/2→π)f(sinx)dx=2∫(0→π/2)f(sint)dt

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