如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上且BD=CE，F、G分别为BE、CD的中点，过F、G的直线交AB于点P，交AC于点Q，求证AP=AQ。

如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上且BD=CE，F、G分别为BE、CD的中点，过F、G的直线交AB于点P，交AC于点Q，求证AP=AQ。

证明：
取BC中点为H
连接HF,HG并分别延长交AB于M点，交AC于N点

由于H，F均为中点
所以
HM‖AC,HN‖AB
HF=CE/2,HG=BD/2

所以
∠BMH=∠A
∠CNH=∠A

又：BD=CE
所以 HF=HG

在△HFG中即得：
∠HFG=∠HGF

即：∠PFM=∠QGN

于是在△PFM中得：
∠APQ=180°-∠BMH-∠PFM=180°-∠A-∠QGN

在△QNG中得：
∠AQP=180°-∠CNH-∠QGN=180°-∠A-∠QGN

所以 ∠APQ=∠AQP

所以AP=AQ

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