【在三角形abc中】(2011·牡丹江)在三角形abc中,∠ACB=2∠B,如图①,当∠C

【在三角形abc中】(2011·牡丹江)在三角形abc中,∠ACB=2∠B,如图①,当∠C

【答案】 （2011•牡丹江）在△ABC中,∠ACB=2∠B,如图①,当∠C=90°,AD为∠BAC的角平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD．（1）如图②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?不需要证明,请直接写出你的猜想：（2）如图③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明．
　　
　　（1）猜想：AB=AC+CD．证明：如图②,在AB上截取AE=AC,连接DE,∵AD为∠BAC的角平分线时,∴∠BAD=∠CAD,∵AD=AD,∴△ADE≌△ADC（SAS）,∴∠AED=∠C,ED=CD,∵∠ACB=2∠B,∴∠AED=2∠B,∴∠B=∠EDB,∴EB=ED,∴EB=CD,∴AB=AE+DE=AC+CD．（2）猜想：AB+AC=CD．证明：在BA的延长线上截取AE=AC,连接ED．∵AD平分∠FAC,∴∠EAD=∠CAD．在△EAD与△CAD中,AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD,∴△EAD≌△CAD．∴ED=CD,∠AED=∠ACD．∴∠FED=∠ACB．又∠ACB=2∠B,∠FED=∠B+∠EDB,∠EDB=∠B．∴EB=ED．∴EA+AB=EB=ED=CD．∴AC+AB=CD．

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