高中数学：若实数x、y满足2x+4y=1，求x^2+y^2的最小值 。（能用基本不等式做吗？）

高中数学：若实数x、y满足2x+4y=1，求x^2+y^2的最小值 。（能用基本不等式做吗？）

方法一：
由已知，y=(1-2x)/4，
所以，x^2+y^2=x^2+[(1-2x)/4]^2=(20x^2-4x+1)/16
据二次函数性质，最小值为 (80-16)/(16*80)=1/20。

方法二：
设 x^2+y^2=t。
由已知得 y=(1-2x)/4，代入上式得
x^2+[(1-2x)/4]^2=t，
化简得 20x^2-4x+1-16t=0，
所以 Δ=(-4)^2-4*20*(1-16t)>=0，
解得 t>=1/20，即 x^2+y^2最小值为1/20。

方法三：
设 x^2+y^2=r^2。
则直线 2x+4y-1=0与圆x^2+y^2=r^2有公共点，
所以，圆心到直线的距离<=r，
即 |0+0-1|/√(2^2+4^2)<=r，
两端平方得 1/20<=r^2=x^2+y^2，
也就是 x^2+y^2的最小值是 1/20。

方法四：
由柯西不等式得
1=(2x+4y)^2<=(2^2+4^2)(x^2+y^2)，
所以，x^2+y^2>=1/20，即最小值为 1/20。

用柯西不等式 （x^2+y^2）（4+16）>=(2x+4y)^2=1 x^2+y^2>=1/20

这是直线和圆相切的问题

1.画出直线2x+4y=1，可以看出当直线与圆x^2+y^2=a相切时a最小。 连接坐标原点和切点，用相似三角形基本定理可以算出这个线段的长度1/(2kaigen5); b = 1/20

由2x+4y=1得y=-x/2+1/4，与之垂直且通过原点的直线是y=2x，联立此两方程，得x=1/10，y=1/5 把此值代入x^2+y^2得最小值是1/20

你好！ x=(1-4y)/2 代入得x^2+y^2=(1-8y+16y^2)/4+y^2 =5y^2-2y+1/4 =5(y-0.2)^2+1/20 y=0.2时有最小值为1/20 打字不易，采纳哦！

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