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　09年高考数学真题解析：数列

　考试内容： 　　数列。 　　等差数列及其通项公式。等差数列前n项和公式。 　　等比数列及其通项公式。等比数列前n项和公式。 　　考试要求： 　　(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义。了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。 　　【导读】数列的通项公式与递推公式是表达数列特征与构造的两种方法. 1.要注意强调数列、数列的项、数列的通项三个概念的区别.2.给出数列的方法中，递推关系包含两种：一种是项和项之间的关系；另一种是项和前n项和Sn之间的关系。要用转化的数学思想方法。转化是数学中最基本、最常用的解题策略，Sn和an的转化，可给出数列，问题总是在一步步的转化过程中得到解决，在运用转化的方法时，一定要围绕转化目标转化.3.重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用。 　　常用方法： 　　1.用归纳法依据前几项写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维方法，需要我们有一定的数学观察能力和分析能力，并熟知一些常见的数列的通项公式。 　　2.对于符号(数字、字母、运算符号、关系符号)、图形、文字所表示的数学问题，要有目的地从局部到整体多角度进行观察，从而得出结论。 　　3.求数列的通项公式是本节的重点，主要掌握两种求法。 　　(1)由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察.(2)数列{an}的前n项和Sn与数列{an}的通项公式an的关系，要注意验证能否统一到一个式子中。 　　【试题举例】 　　数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1/n(n+1)，则S5等于(　　) 　　A.1 B5/6. C1/6. D.1/30 　　【答案】B 　　【解析】an＝1/n(n+1)＝1/n－1/n+1， 　　所以S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1－1/2＋1/2－1/3＋1/3－1/4＋1/4－1/5＋1/5－1/6＝5/6，选B. 　　(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。 　　【导读】等差数列可以看成一个特殊函数，其图象是一群孤立点，且该图象的孤立点落在一条直线上。 　　1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点。 　　2.等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个。 　　3.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是： 　　(1)利用定义，证明an/an－1(n≥2)为常数； 　　(2)利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2).　4.等差数列{an}中，当a1＜0，d＞0时，数列{an}为递增数列，Sn有最小值；当a1＞0，d＜0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值；当d＝0时，{an}为常数列。 　　5.复习时，要注意以下几点： 　　(1)深刻理解等差数列的定义及等价形式，灵活运用等差数列的性质。 　　(2)注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用。 　　考试时应注意以下几个问题： 　　1.在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，am＝an＋(m－n)d. 　　2.由五个量a1，d，n，an，Sn中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的。 　　3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a，a＋d，a＋2d外，还可设a－d，a，a＋d；四个数成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. 　　4.等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活运用。 　　5.在求解数列问题时，要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用。 　　【试题举例】 　　等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，a3＝3，则S4等于(　　) 　　A.12 B.10 　　C.8 D.6 　　【答案】C 　　【解析】等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，a3＝3，则d＝2，a1＝－1，∴S4＝8，选C. 　　(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。 　　【导读】等比数列图象的孤立点落在一条近似指数函数图象上。此处为数形结合解决数列问题提供了依据。 　　1.深刻理解等比数列的定义，紧扣从“第二项起”和“比是同一常数”这两点。 　　2.运用等比数列求和公式时，需对q＝1和q≠1进行讨论。 　　3.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是： 　　(1)利用定义，证明(n≥2)为常数； 　　(2)利用等比中项，即证明a＝an－1•an＋1(n≥2). 　　等比数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活运用。 　　4.解决等比数列有关问题的常见思想方法： 　　(1)方程的思想：等比数列中五个元素a1、an、n、q、Sn可以“知三求二”； 　　(2)分类讨论的思想：当a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1时为递增数列，当a1＜0，q＞1或a1＞0,0＜q＜1时为递减数列；当q＜0时为摆动数列；当q＝1时为常数列。 　　5.转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 　　【试题举例】 　　在等比数列{an}(n∈N*)中，若a1＝1，a4＝1/8，则该数列的前10项和为(　　) 　　A.2－1/(2)8 B.2－1/(2)9 C.2－1/(2)10 D.2－1/(2)11 　　【答案】B 　　【解析】由a4＝a1q3＝q3＝1/8⇒q＝1/2，所以S10＝1-(1/2)10/1-1/2＝2－1/(2)9 .

是天书还是地书啊