如何搞懂第二换元法
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解决时间 2021-03-23 10:26
- 提问者网友：孤山下
- 2021-03-22 15:11
如何搞懂第二换元法
最佳答案
- 五星知识达人网友：独钓一江月
- 2021-03-22 16:29
我是数学系的.
我认为你首先要理解不定积分的第二换元法,只有真正理解了课本的基础知识才能更快更容易的做相关的习题.当然,请老师再帮你讲一次是不现实的,所以我建议你去
谷歌 的视频搜看以下，那里面有名师的讲课视频，很有用的．最好先把课本的知识再看一下，那样你带着问题去听课，效果更好了！
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全部回答
- 1楼网友：野味小生
- 2021-03-22 20:00
我不是说学系的，但是我知道你要想真正明白换元法，你就得搞懂证明过程，就是复合函数的求导发则。不过一般不要求真正搞懂，能做就行了。
- 2楼网友：woshuo
- 2021-03-22 19:45
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝ ＋ 的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin α ，α∈[0, ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x ＋y ＝r （r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝ ＋t，y＝ －t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0, ]。
Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x ＋1)＝log (4－x ) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{a }中，a ＝－1，a ·a ＝a －a ，则数列通项a ＝___________。
4.设实数x、y满足x ＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
5.方程 ＝3的解是_______________。
6.不等式log (2 －1) ·log (2 －2)〈2的解集是_______________。
【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－ , ]，则y＝ ＋t－ ，对称轴t＝－1，当t＝ ，y ＝ ＋ ；
2小题：设x ＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝log [-(t-1) ＋4]，所以值域为(－∞,log 4]；
3小题：已知变形为 － ＝－1,设b ＝ ，则b ＝－1,b ＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a ＝－ ；
4小题：设x＋y＝k，则x －2kx＋1＝0, △＝4k －4≥0,所以k≥1或k≤－1；
5小题：设3 ＝y，则3y ＋2y－1＝0,解得y＝ ，所以x＝－1；
6小题：设log (2 －1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2
例1. 实数x、y满足4x －5xy＋4y ＝5 （ ①式） ，设S＝x ＋y ，求 ＋ 的值。（93年全国高中数学联赛题）
【分析】 由S＝x ＋y 联想到cos α＋sin α＝1,于是进行三角换元，设 代入①式求S 和S 的值。
【解】设 代入①式得： 4S－5S·sinαcosα＝5
解得 S＝ ；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤ ≤
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝
此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝ 的有界性而求，即解不等式：| |≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【另解】 由S＝x ＋y ，设x ＝ ＋t，y ＝ －t，t∈[－ ， ]，
则xy＝± 代入①式得：4S±5 =5，
移项平方整理得 100t +39S －160S＋100＝0 。
∴ 39S －160S＋100≤0 解得： ≤S≤
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝
【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x ＋y 与三角公式cos α＋sin α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x ＋y 而按照均值换元的思路，设x ＝ ＋t、y ＝ －t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a ＋13b ＝5 ，求得a ∈[0, ]，所以S＝(a－b) ＋(a＋b) ＝2(a ＋b )＝ ＋ a ∈[ , ]，再求 ＋ 的值。
例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B， ＋ ＝－ ，求cos 的值。（96年全国理）
【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 ；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设 ，再代入可求cosα即cos 。
【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ,
由A＋C＝120°，设 ，代入已知等式得：
＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝－2 ,
解得：cosα＝ ， 即：cos ＝ 。
【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＋ ＝－
＝－2 ，设 ＝－ ＋m， ＝－ －m ，
所以cosA＝ ，cosC＝ ，两式分别相加、相减得：
cosA＋cosC＝2cos cos ＝cos ＝ ，
cosA－cosC＝－2sin sin ＝－ sin ＝ ，
即：sin ＝－ ，＝－ ，代入sin ＋cos ＝1整理得：3m －16m－12＝0,解出m ＝6，代入cos ＝ ＝ 。
【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“ ＋ ＝－2 ”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＋ ＝－ ＝－2 ，即cosA＋cosC＝－2 cosAcosC，和积互化得：
2cos cos ＝－ [cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos ＝ － cos(A-C)＝ － (2cos －1)，整理得：4 cos ＋2cos －3 ＝0,
解得：cos ＝
y
, ,
－ x
例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a 的最大值和最小值。
【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[- , ]，由(sinx＋cosx) ＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝
∴ f(x)＝g(t)＝－ (t－2a) ＋ （a>0），t∈[- , ]
t＝- 时，取最小值：－2a －2 a－
当2a≥ 时，t＝ ，取最大值：－2a ＋2 a－ ；
当0<2a≤ 时，t＝2a，取最大值： 。
∴ f(x)的最小值为－2a －2 a－ ，最大值为 。
【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[- , ]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例4. 设对所于有实数x，不等式x log ＋2x log ＋log >0恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）
【分析】不等式中log 、 log 、log 三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。
【解】 设log ＝t，则log ＝log ＝3＋log ＝3－log ＝3－t，log ＝2log ＝－2t，
代入后原不等式简化为（3－t）x ＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以：
，解得 ∴ t<0即log <0
0< <1，解得0【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log 、 log 、log 三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。
例5. 已知 ＝ ，且 ＋ ＝ (②式)，求 的值。
【解】 设 ＝ ＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sin θ＋cos θ＝k (x +y )＝1,代入②式得： ＋ ＝ ＝ 即： ＋ ＝
设 ＝t，则t＋ ＝ , 解得：t＝3或 ∴ ＝± 或±
【另解】 由 ＝ ＝tgθ，将等式②两边同时除以 ，再表示成含tgθ的式子：1＋tg θ＝ ＝ tg θ，设tg θ＝t，则3t —10t＋3＝0，
∴t＝3或 ， 解得 ＝± 或± 。
【注】 第一种解法由 ＝ 而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为 ＝ ，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
例6. 实数x、y满足 ＋ ＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。
【分析】由已知条件 ＋ ＝1，可以发现它与a ＋b ＝1有相似之处，于是实施三角换元。
【解】由 ＋ ＝1，设 ＝cosθ， ＝sinθ，
即： 代入不等式x＋y－k>0得：
3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)
所以k<-5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。
y
x
x＋y－k>0
k 平面区域
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组 有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知f(x )＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。
A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4
2. 函数y＝(x＋1) ＋2的单调增区间是______。
A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]
3. 设等差数列{a }的公差d＝ ，且S ＝145，则a ＋a ＋a ＋……＋a 的值为_____。
A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5
4. 已知x ＋4y ＝4x，则x＋y的范围是_________________。
5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则 ＋ 的范围是____________。
6. 不等式 >ax＋ 的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。
7. 函数y＝2x＋ 的值域是________________。
8. 在等比数列{a }中，a ＋a ＋…＋a ＝2，a ＋a ＋…＋a ＝12，求a ＋a ＋…＋a 。
y D C
A B
O x
9. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sin x＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。
10. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x ＋y ＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝ ＋ 的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin α ，α∈[0, ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x ＋y ＝r （r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝ ＋t，y＝ －t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0, ]。
Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x ＋1)＝log (4－x ) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{a }中，a ＝－1，a ·a ＝a －a ，则数列通项a ＝___________。
4.设实数x、y满足x ＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
5.方程 ＝3的解是_______________。
6.不等式log (2 －1) ·log (2 －2)〈2的解集是_______________。
【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－ , ]，则y＝ ＋t－ ，对称轴t＝－1，当t＝ ，y ＝ ＋ ；
2小题：设x ＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝log [-(t-1) ＋4]，所以值域为(－∞,log 4]；
3小题：已知变形为 － ＝－1,设b ＝ ，则b ＝－1,b ＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a ＝－ ；
4小题：设x＋y＝k，则x －2kx＋1＝0, △＝4k －4≥0,所以k≥1或k≤－1；
5小题：设3 ＝y，则3y ＋2y－1＝0,解得y＝ ，所以x＝－1；
6小题：设log (2 －1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2
例1. 实数x、y满足4x －5xy＋4y ＝5 （ ①式） ，设S＝x ＋y ，求 ＋ 的值。（93年全国高中数学联赛题）
【分析】 由S＝x ＋y 联想到cos α＋sin α＝1,于是进行三角换元，设 代入①式求S 和S 的值。
【解】设 代入①式得： 4S－5S·sinαcosα＝5
解得 S＝ ；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤ ≤
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝
此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝ 的有界性而求，即解不等式：| |≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【另解】 由S＝x ＋y ，设x ＝ ＋t，y ＝ －t，t∈[－ ， ]，
则xy＝± 代入①式得：4S±5 =5，
移项平方整理得 100t +39S －160S＋100＝0 。
∴ 39S －160S＋100≤0 解得： ≤S≤
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝
【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x ＋y 与三角公式cos α＋sin α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x ＋y 而按照均值换元的思路，设x ＝ ＋t、y ＝ －t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a ＋13b ＝5 ，求得a ∈[0, ]，所以S＝(a－b) ＋(a＋b) ＝2(a ＋b )＝ ＋ a ∈[ , ]，再求 ＋ 的值。
例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B， ＋ ＝－ ，求cos 的值。（96年全国理）
【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 ；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设 ，再代入可求cosα即cos 。
【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ,
由A＋C＝120°，设 ，代入已知等式得：
＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝－2 ,
解得：cosα＝ ， 即：cos ＝ 。
【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＋ ＝－
＝－2 ，设 ＝－ ＋m， ＝－ －m ，
所以cosA＝ ，cosC＝ ，两式分别相加、相减得：
cosA＋cosC＝2cos cos ＝cos ＝ ，
cosA－cosC＝－2sin sin ＝－ sin ＝ ，
即：sin ＝－ ，＝－ ，代入sin ＋cos ＝1整理得：3m －16m－12＝0,解出m ＝6，代入cos ＝ ＝ 。
【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“ ＋ ＝－2 ”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＋ ＝－ ＝－2 ，即cosA＋cosC＝－2 cosAcosC，和积互化得：
2cos cos ＝－ [cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos ＝ － cos(A-C)＝ － (2cos －1)，整理得：4 cos ＋2cos －3 ＝0,
解得：cos ＝
y
, ,
－ x
例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a 的最大值和最小值。
【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[- , ]，由(sinx＋cosx) ＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝
∴ f(x)＝g(t)＝－ (t－2a) ＋ （a>0），t∈[- , ]
t＝- 时，取最小值：－2a －2 a－
当2a≥ 时，t＝ ，取最大值：－2a ＋2 a－ ；
当0<2a≤ 时，t＝2a，取最大值： 。
∴ f(x)的最小值为－2a －2 a－ ，最大值为 。
【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[- , ]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例4. 设对所于有实数x，不等式x log ＋2x log ＋log >0恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）
【分析】不等式中log 、 log 、log 三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。
【解】 设log ＝t，则log ＝log ＝3＋log ＝3－log ＝3－t，log ＝2log ＝－2t，
代入后原不等式简化为（3－t）x ＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以：
，解得 ∴ t<0即log <0
0< <1，解得0【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log 、 log 、log 三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。
例5. 已知 ＝ ，且 ＋ ＝ (②式)，求 的值。
【解】 设 ＝ ＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sin θ＋cos θ＝k (x +y )＝1,代入②式得： ＋ ＝ ＝ 即： ＋ ＝
设 ＝t，则t＋ ＝ , 解得：t＝3或 ∴ ＝± 或±
【另解】 由 ＝ ＝tgθ，将等式②两边同时除以 ，再表示成含tgθ的式子：1＋tg θ＝ ＝ tg θ，设tg θ＝t，则3t —10t＋3＝0，
∴t＝3或 ， 解得 ＝± 或± 。
【注】 第一种解法由 ＝ 而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为 ＝ ，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
例6. 实数x、y满足 ＋ ＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。
【分析】由已知条件 ＋ ＝1，可以发现它与a ＋b ＝1有相似之处，于是实施三角换元。
【解】由 ＋ ＝1，设 ＝cosθ， ＝sinθ，
即： 代入不等式x＋y－k>0得：
3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)
所以k<-5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。
y
x
x＋y－k>0
k 平面区域
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组 有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知f(x )＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。
A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4
2. 函数y＝(x＋1) ＋2的单调增区间是______。
A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]
3. 设等差数列{a }的公差d＝ ，且S ＝145，则a ＋a ＋a ＋……＋a 的值为_____。
A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5
4. 已知x ＋4y ＝4x，则x＋y的范围是_________________。
5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则 ＋ 的范围是____________。
6. 不等式 >ax＋ 的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。
7. 函数y＝2x＋ 的值域是________________。
8. 在等比数列{a }中，a ＋a ＋…＋a ＝2，a ＋a ＋…＋a ＝12，求a ＋a ＋…＋a 。
y D C
A B
O x
9. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sin x＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。
10. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x ＋y ＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。
- 3楼网友：春色三分
- 2021-03-22 19:25
第一换元 纯粹就是复合函数导数的逆运算（书写上采用微分，和导数逆写一样）
第二换元：
本质也是把不熟悉变熟悉函数。
一；明确换元目标－－熟悉两大类函数
1简单有理函数的积分（看课本）
2常见三角函数积分 ：如正余弦乘积，正切正割乘积 （看课本）
二：认识换元题目三大类：
1普通简单无理函数转化成有理函数
2某些无理函数转化成三角函数（用sint,tant,sect换完一般就是上边提到两类三角函数），有一类有理函数用tant换。
3含指数函数的--转化为有理函数。
看几个例题就好。
思考：1，3类换元后为什么刚好就是目标－－－有理函数
第二换元：
本质也是把不熟悉变熟悉函数。
一；明确换元目标－－熟悉两大类函数
1简单有理函数的积分（看课本）
2常见三角函数积分 ：如正余弦乘积，正切正割乘积 （看课本）
二：认识换元题目三大类：
1普通简单无理函数转化成有理函数
2某些无理函数转化成三角函数（用sint,tant,sect换完一般就是上边提到两类三角函数），有一类有理函数用tant换。
3含指数函数的--转化为有理函数。
看几个例题就好。
思考：1，3类换元后为什么刚好就是目标－－－有理函数
- 4楼网友：duile
- 2021-03-22 18:36
第一和第二类换元积分法是正逆两种换元方式。第一类换元积分法我不说了，我想你已经弄明白了吧！
我想问你，我们为什么要换元呢？
因为我们没有基本的导数公式可以直接带进去求出积分，所以我们要换元。
第二类换元积分法从形式看是第一种的逆行，但很多我们是需要用第二种来求的。【我们的目的是化为容易求得原函数的形式】
我觉得看课本的例题比较好。结合例题在看看定理你就可以很快理解定理的内容的，但不是光理解就可以的，我们要解题。数学分析常见的现象是听就明白，但做题就不会，你是不是有这种体会呢？？呵呵1你要做题，做题，真的，很重要A!!!!
常见的第二类换元积分法类型有：
积分f(x,根号（x^2-a^2))dx 令x=sect
积分f(x,a^x)dx 令t=a^x
分母中因子次数较高时可用倒代换。
积分f(x,根号（a^2-x^2))dx, 令x=asint,或者x=acost
还有其他的，你可以在做题的时候加以总结。
最后要提醒你的就是：『『『不要最后忘了变量还原呀！！！！！！！并在最后加上一个常数C】】】】】】】】】】】】不要欢喜过度哦^_^
过几天就要考试了，那么这几天你就要好好复习了！！把课本上的例题好好的看上几遍，看懂为止。把一些基本的题型看看，怎么转化的弄明白！！1把去年的考题重新做一遍，背也要背上来！！
其实求积分对以后级数的学习是有重要的作用的，很多地方是需要用到求积分的，积分学不好，即使你懂级数会求，但你就是不能求出结果，建议你在考完式后把积分这一块好好复习一遍。。。
积分要做到像做加减乘除一样熟练。。。。是最基本的题目了。。。
我想问你，我们为什么要换元呢？
因为我们没有基本的导数公式可以直接带进去求出积分，所以我们要换元。
第二类换元积分法从形式看是第一种的逆行，但很多我们是需要用第二种来求的。【我们的目的是化为容易求得原函数的形式】
我觉得看课本的例题比较好。结合例题在看看定理你就可以很快理解定理的内容的，但不是光理解就可以的，我们要解题。数学分析常见的现象是听就明白，但做题就不会，你是不是有这种体会呢？？呵呵1你要做题，做题，真的，很重要A!!!!
常见的第二类换元积分法类型有：
积分f(x,根号（x^2-a^2))dx 令x=sect
积分f(x,a^x)dx 令t=a^x
分母中因子次数较高时可用倒代换。
积分f(x,根号（a^2-x^2))dx, 令x=asint,或者x=acost
还有其他的，你可以在做题的时候加以总结。
最后要提醒你的就是：『『『不要最后忘了变量还原呀！！！！！！！并在最后加上一个常数C】】】】】】】】】】】】不要欢喜过度哦^_^
过几天就要考试了，那么这几天你就要好好复习了！！把课本上的例题好好的看上几遍，看懂为止。把一些基本的题型看看，怎么转化的弄明白！！1把去年的考题重新做一遍，背也要背上来！！
其实求积分对以后级数的学习是有重要的作用的，很多地方是需要用到求积分的，积分学不好，即使你懂级数会求，但你就是不能求出结果，建议你在考完式后把积分这一块好好复习一遍。。。
积分要做到像做加减乘除一样熟练。。。。是最基本的题目了。。。
- 5楼网友：青尢
- 2021-03-22 17:52
跟第一换元法相反
第一换元法是把被积函数里的某一部分用字母代替
第二换元法
是把被积函数里的积分变量x换成一个新的函数g(t)
同时把dx也换成[g(t)]'dx
至于g(t)是怎么来的
有一定的规律,但也不是绝对的
通常也是把被积函数里的某部分设成t,再反解出x=g(t)
设成t的部分
一般是根号
关于三角函数的常用三角换元(怎么换书上有)
把积分变量x窦换成t之后
对t进行积分即可
-----------------------------
楼下...指...好歹咱也是打出来的
连咱的错字都复制了 囧
-----------------------------
后面还有定积分和微分方程的话
建议不定积分多下点功夫
因为定积分的计算完全是依靠不定积分的
计算方法上也大体相同
微分方程里也会用到积分的说
所以 计算要熟练
看到3楼提醒 也想说
千万别忘记最后把t还原成x
还有千万别忘记+C
第一换元法是把被积函数里的某一部分用字母代替
第二换元法
是把被积函数里的积分变量x换成一个新的函数g(t)
同时把dx也换成[g(t)]'dx
至于g(t)是怎么来的
有一定的规律,但也不是绝对的
通常也是把被积函数里的某部分设成t,再反解出x=g(t)
设成t的部分
一般是根号
关于三角函数的常用三角换元(怎么换书上有)
把积分变量x窦换成t之后
对t进行积分即可
-----------------------------
楼下...指...好歹咱也是打出来的
连咱的错字都复制了 囧
-----------------------------
后面还有定积分和微分方程的话
建议不定积分多下点功夫
因为定积分的计算完全是依靠不定积分的
计算方法上也大体相同
微分方程里也会用到积分的说
所以 计算要熟练
看到3楼提醒 也想说
千万别忘记最后把t还原成x
还有千万别忘记+C
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