【抛物线的性质】抛物线的性质

【抛物线的性质】抛物线的性质

【答案】 1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线x = -b/2a.
　　　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.
　　　　特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
　　　　2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
　　　　当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上.
　　　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.
　　　　当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.
　　　　|a|越大,则抛物线的开口越小.
　　　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
　　　　当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
　　　　可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右.
　　　　事实上,b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到
　　.
　　　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点.
　　　　抛物线与y轴交于（0,c）
　　　　6.抛物线与x轴交点个数
　　　　Δ= b^2;-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点.
　　　　Δ= b^2;-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点.
　　　　_______
　　　　Δ= b^2-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点.X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a）
　　　　当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
　　　　当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
　　　　7.特殊值的形式
　　　　①当x=1时 y=a+b+c
　　　　②当x=-1时 y=a-b+c
　　　　③当x=2时 y=4a+2b+c
　　　　④当x=-2时 y=4a-2b+c
　　　　8.定义域：R
　　　　值域：（对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a,正无穷）；②[t,正无穷）
　　　　奇偶性：偶函数
　　　　周期性：无
　　　　解析式：
　　　　①y=ax^2+bx+c[一般式]
　　　　⑴a≠0
　　　　⑵a＞0,则抛物线开口朝上；a＜0,则抛物线开口朝下；
　　　　⑶极值点：（-b/2a,(4ac-b^2)/4a）；
　　　　⑷Δ=b^2-4ac,
　　　　Δ＞0,图象与x轴交于两点：
　　　　（[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）；
　　　　Δ＝0,图象与x轴交于一点：
　　　　（-b/2a,0）；
　　　　Δ＜0,图象与x轴无交点；
　　　　②y=a(x-h)^2+k[顶点式]
　　　　此时,对应极值点为（h,k）,其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a；
　　　　③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）
　　　　对称轴X=(X1-X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小
　　　　此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）.

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