已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n^2an(n属于N*）

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n^2an(n属于N*）

（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式

（2）证明你的猜想，并求出an的表达式

解:(1)S1=a1=1;

S2=a1+a2=2^2×a2=4a2;

a2=(1/3)a1=1/3;S2=a1+a2=4/3

S3=a1+a2+a3=3^2×a3=9a3;

a1+a2=8a3;a3=(1/8)(4/3)=1/6;

S3=a1+a2+a3=1+1/3+1/6=3/2;

S4=a1+a2+a3+a4=4^2×a4=16a4;

a1+a2+a3=15a4;a4=(1/15)(3/2)=1/10;

S4=a1+a2+a3+a4=1+1/3+1/6+1/10=8/5;

综上所述,S1=1=2/2,S2=4/3;S3=3/2=6/4;S4=8/5;

故猜想Sn=2n/(n+1)(n∈N*)

(2)证明如下:

S(n)-S(n-1)=a(n)=n^2×a(n)-(n-1)^2×a(n-1)

故(n-1)^2×a(n-1)=(n^2-1)×a(n)(n≥2且n∈N*)

等式两边约去(n-1)得:

(n-1)×a(n-1)=(n+1)×a(n)

a(n)/a(n-1)=(n-1)/(n+1);

采用叠乘法求通项公式:

[a(n)/a(n-1)]×[a(n-1)/a(n-2)]×.......×[a(3)/a(2)]×[a(2)/a(1)]

=[(n-1)/(n+1)]×[(n-2)/n]×......×(2/4)×(1/3)

=[(n-1)×(n-2)×(n-3)×...×2×1]/[(n+1)×n×(n-1)×...×4×3]

=2/[n(n+1)](n≥2且n∈N*)(约去交错项)

验证a1=1,合乎通项公式

故有an=2/[n(n+1)](n∈N*)

Sn=2{[1-(1/2)]+[(1/2)-(1/3)]+...+[(1/n)-1/(n+1)]}

=2[1-1/(n+1)](约去交错项)

=2n/(n+1)(n∈N*)

由此得证

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