已知0<a<1,求证:1/a+1/1-a≧4的详细答案，过程要详细啊！！！

已知0<a<1,求证:1/a+1/1-a≧4的详细答案，过程要详细啊！！！

郭敦顒回答：
已知0 “:1/a+1/1－a≧4”应表为“:1/a+1/（1－a）≧4”，
分析：
∴应证[（1－a）+ a]/[a（1－a）] ≧4
1/[a（1－a）] ≧4，
1≧－4a²+4a，
4a²－4a +1≧0，
∴应证（2a－1）²≧0，
证：
∵（2a－1）²≧0，（仅当a=1/2时（2a－1）²=0）
∴4a²－4a +1≧0，
1≧－4a²+4a=4a（1－a），
∴1/[a（1－a）] ≧4，
∴1/a+1/（1－a）≧4。

即证：1/a(1-a)>=4
即：4a(1-a)<=1
4a^2-4a+1>=0
显然：(2a-1)^2>=0
问题得证

首先，1/a + 1/(1-a) = 1/(a*(1-a))
设函数 f(x)=x*(1-x), <0用微积分， 得出 f'(x)=1-2x
得出 x=1/2时，f(x)为最高值=(1/2)*(1-1/2)=1/4
所以在 0从而得出 1/(x*(1-x)) >=4
这不证明了 1/a + 1/(1-a) = 1/(a*(1-a)) >=4

证明：
令 1-a=b，
则 a+b=1，b>0
1/a+1/b=(a+b)/ab=1/ab
又 a+b>=2√ab
∴ab<=1/4
则 1/ab>=4
∴ 1/a+1/b>=4
即 1/a+1/（1-a）≧4
【OK？】

令a=sin²θ
1/a+1/(1-a) = 1/sin²θ + 1/cos²θ
= 2+ tan²θ + 1/tan²θ
≧ 2 +2 (tanθ × 1/tanθ) =4

方法一：因为0
由调和平均数不等式1/a+1/b≥4/(a+b)可得1/a+1/(1-a)≥4/{a+(1-a)]=4.

方法二：1-a=b，则有a+b=1，a>0，b>0

1/a+1/(1-a)=1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)=2+a/b+b/a≥4.

当且仅当a=b=1/2时取等号.

方法三：令a=cos²θ，则1-a=sin²θ

1/a+1/(1-a)=1/cos²θ+1/sin²θ=(sin²θ+cos²θ)/(sin²θ+cos²θ)=1/(sin²θcos²θ)=4/(sin²2θ)≥4.

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