已知函数f（x）=|x-4|+|x+5|．（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范

已知函数f（x）=|x-4|+|x+5|．
（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．

解：（Ⅰ）因为f（x）=|x-4|+|x+5|≥|（x-4）+（x+5）|=|2x+1|，
当且仅当（x-4）（x+5）≥0，即x≤-5或x≥4时取等号．
所以若f（x）=|2x+1|成立，则x的取值范围是（-∞，-5]∪[4，+∞）．
（Ⅱ）因为f（x）=|x-4|+|x+5|≥|（x-4）-（x+5）|=9，
所以若关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，则a＞f（x）min=9，
即a的取值范围是（9，+∞）．解析分析：（Ⅰ）f（x）=|x-4|+|x+5|和f（x）=|2x+1|，根据绝对值不等式，对|x-4|+|x+5|放缩，注意等号成立的条件，（Ⅱ）把关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，转化为关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，求函数f（x）的最小值．点评：考查绝对值不等式|a+b|≤|a|+|b|，及等号成立的条件是a=b，求解问题（Ⅱ）体现了转化的数学思想，属中档题．

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