求二次函数f（x）=x2-2x+2在[t，t+1]上的最小值

求二次函数f（x）=x2-2x+2在[t，t+1]上的最小值．

∵二次函数f（x）=x2-2x+2=（x-1）2+1的对称轴为 x=1，
①当t＞1时，函数在[t，t+1]上是增函数，故当x=t时，函数取得最小值为t2-2t+2，
当x=t+1时，函数取得最大值为（t+1）2-2（t+1）+2．
②当 t≤1≤t+
1
2 时，则当x=1时，函数取得最小值为1，
当x=t+1时，函数取得最大值为（t+1）2-2（t+1）+2．
③当t+
1
2 ＜1≤t+1时，则当x=1时，函数取得最小值为1，
当x=t时，函数取得最大值为t2-2t+2．
④当t+1＜1时，函数在[t，t+1]上是减函数，故当x=t时，函数取得最大值为t2-2t+2，
当x=t+1时，函数取得最小值为（t+1）2-2（t+1）+2．

f(x)=x^2-2x+2=(x-1)^2+1,当x=1时,f(x)有最小值为f(1)=1 (接下来要利用二次函数的单调性) f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以 当x=1位于［t,t+1］右侧,即t+1<1，也即t<0时 f(x)在x=t+1处取得最小值，f(t+1)=t^2+1 当x=1位于［t,t+1］内,即t≤1≤t+1，也即0≤t≤1时 f(x)在x=1处取得最小值，f(1)=1 当x=1位于［t,t+1］左侧,即t>1时 f(x)在x=t处取得最小值，f(t+1)=(t-1)^2+1

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