1)上,直线AB,AC分别过椭圆的左右焦点F1,F2当,0)上 直线AB AC分别过椭圆的左右焦点F

1)上,直线AB,AC分别过椭圆的左右焦点F1,F2当,0)上 直线AB AC分别过椭圆的左右焦点F

①当向量AC·向量F1F2=0时,AF2垂直于F1F2,9向量AF1·向量AF2=9|AF1||AF2|cosA=9|AF2|^2=|AF1|^2=>|AF1|=3|AF2| 又|AF1|+|AF2|=2a=>|AF1|=3a/2,|AF2|=a/2,2c=|F1F2|=(√2)a=>a^2=2(a^2-2)=>a^2=4椭圆M的方程为x^2/4+y^2/2=1②设P,E,F的坐标依次为(2cosα,(√2)sinα),(cosβ,2+sinβ),(-cosβ,2-sinβ)则向量PE·向量PF=(cosβ-2cosα)(-cosβ-2cosα)+(2+sinβ-(√2)sinα)(2-sinβ-(√2)sinα)=4(cosα)^2-4(√2)sinα+2(sinα)^2+3=-2(sinα)^2-4(√2)sinα+7=11-2(sinα+√2)^2当sinα=-1时,向量PE·向量PF取最大值5+4√2======以下答案可供参考======供参考答案1:①当向量AC·向量F1F2=0时,AF2垂直于F1F2，9向量AF1·向量AF2=9|AF1||AF2|cosA=9|AF2|^2=|AF1|^2=>|AF1|=3|AF2| 又|AF1|+|AF2|=2a=>|AF1|=3a/2,|AF2|=a/2,2c=|F1F2|=(√2)a=>a^2=2(a^2-2)=>a^2=4椭圆M的方程为x^2/4+y^2/2=1供参考答案2:：（Ⅰ）因为AC→•F1F2→=0，所以有AC→⊥F1F2→所以△AF1F2为直角三角形；∴|AF1→|cos∠F1AF2=|AF2→|则有9AF1→•AF2→=9|AF1→||AF2→|cos∠F1AF2=9|AF2→|2=AF1→2=|AF1→|2所以，|AF1→|=3|AF2→|又|AF1→|+|AF2→|=2a，∴|AF1→|=3a2，|AF2→|=a2在△AF1F2中有|AF1→|2=|AF2→|2+|F1F2→|2即(3a2)2=(a2)2+4(a2-1)，解得a2=2所求椭圆M方程为x22+y2=1（Ⅱ）PE→•PF→=(NE→-NP→)•(NF→-NP→)=(-NF→-NP→)•(NF→-NP→)=(-NP→)2-NF→2=NP→2-1从而将求PE→•PF→的最大值转化为求NP→2的最大值是椭圆M上的任一点，设P（x0，y0），则有x022+y02=1即x02=2-2y02又N（0，2），所以NP→2=x02+(y0-2)2=-(y0+2)2+10而y0∈[-1，1]，所以当y0=-1时，NP→2取最大值9故PE→•PF→的最大值为8供参考答案3:①AC*F1F2=0,AF1⊥F1F2, 9AF1*AF2=AF1^2,为方便起见，记|AF1|=r,|AF2|=s,而|F1F2|=2c 即9rscosA=r^2 所以cosA=r/(9s) 由直角三角形可得 cosA=s/r，所以r=3s,及4c^2+s^2=r^2,于是4c^2=8s^2,c^2=2s^2 2a=r+s=4s,a=2s又a^2-c^2=1,即4s^2-2s^2=1，s^2=1/2 a^2=2, 椭圆方程为x^2/2+y^2=1 ②由条件可知，圆与椭圆在上顶点处外切 |EF|=2， PE*PF=|PE||PF|cos∠EPF=(|PE|^2+|PF|^2-|EF|^2)/2 记圆心为C，则PC为三角形PEF的边EF上的中线，于是 4|PC|^2+|EF|^2=2(|PE|^2+|PF|^2) 即|PE|^2+|PF|^2=|EF|^2/2+2|PC|^2 PE*PF=2|PC|^2-|EF|^2/2=2|PC|^2-2 所以只需求|PC|的最大值 为此，我们考虑圆x^2+(y-2)^2=9与椭圆的位置关系， 联立椭圆方程可解得y仅有-1一个解， 这说明椭圆的下顶点到C的距离最远， 即|PC|的最大值为3， 所以PE*PF的最大值为16

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