几乎处处收敛但并不依测度收敛的例子是怎么回事
答案:1 悬赏:20 手机版
解决时间 2021-03-24 19:02
- 提问者网友：了了无期
- 2021-03-24 03:37
几乎处处收敛但并不依测度收敛的例子是怎么回事
最佳答案
- 五星知识达人网友：零点过十分
- 2021-03-24 05:05
比如f(x)=x,f_n(x)=(1-1/n)x (x∈R)
那么在R上：
f_n处处收敛至f，当然也就是几乎处处收敛。
但是f_n不依测度收敛至f：给定任意正数e，任意n，m{x: |f(x)-f_n(x)|>e}=∞（m表示Lebesgue测度），所以lim(n→∞)m{x: |f(x)-f_n(x)|>e}=∞。
主要问题在于m(R)=∞
那么在R上：
f_n处处收敛至f，当然也就是几乎处处收敛。
但是f_n不依测度收敛至f：给定任意正数e，任意n，m{x: |f(x)-f_n(x)|>e}=∞（m表示Lebesgue测度），所以lim(n→∞)m{x: |f(x)-f_n(x)|>e}=∞。
主要问题在于m(R)=∞
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