已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列,求数列{2^an}的前n

已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列,求数列{2^an}的前n

设公差为d,则d≠0a1,a3,a9成等比数列,则a3²=a1·a9(a1+2d)²=a1(a1+8d)a1=1代入,整理,得d²-a1d=0d(d-a1)=0d≠0,因此只有d-a1=0 d=a1=1an=a1+(n-1)d=1+1×(n-1)=n2^(an)=2ⁿ2^(a1)=2 2^[a(n+1)]/2^an=2^(n+1) /2ⁿ=2,为定值.数列{2^(an)}是以2为首项,2为公比的等比数列.Sn=2×(2ⁿ -1)/(2-1)=2^(n+1) -2======以下答案可供参考======供参考答案1:a3=a1＋2d=1＋2da9=a1＋8d=1＋8d则：(1＋2d)²=1(1＋8d)d=1【d=0舍去】则：an=nbn=2^an=2^nSn=2*(2^n-1)/(2-1)=2(2^n-1)供参考答案2:{an}是公差不为0的等差数列，设公差为d（d不为0）a1,a3,a9成等比数列，a3^2=a1*a9=a9(a1+2d)^2=a1+8d,(1+2d)^2=1+8d,4d^2-4d=0,d不为0,d=1an=a1+(n-1)d=1+n-1=n数列{2^an}的首项b1=2^1=2,b(n+1)=2^(n+1),bn=2^n,b(n+1)/bn=2数列{2^an}是首项为2，公比为2的等比数列，通项bn=b1*q^(n-1)=2^n数列{2^an}的前n项和Sn=b1(1-q^n)/(1-q)=2(1-2^n)/(1-2)=2(2^n-1)

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