实数x,y满足4x^2+3y^2=3x,则x^2+y^2的最大值是多少
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解决时间 2021-01-10 12:30
- 提问者网友：两耳就是菩提
- 2021-01-10 07:19
实数x,y满足4x^2+3y^2=3x,则x^2+y^2的最大值是多少
最佳答案
- 五星知识达人网友：过活
- 2021-01-10 07:38
方法1:3y^2=-4x^2+3x>=0
x(4x-3)<=0
所以，0<=x<=3/4
x^2+y^2=(-x^2+3x)/3=-(x-3/2)^2/3+3/4在[0，3/4]上为增函数
故x=3/4时，x^2+y^2有最大值=-(3/4-3/2)^2/3+3/4=9/16，此时y=0
方法2:4x^2+3y^2=3x
4x^2-3x+9/16+3y^2=9/16
4(x-3/8)^2+3y^2=9/16
令2(x-3/8)=3cosω/4,√3y=3sinω/4
x=3(1+cosω)/8，y=√3sinω/4
x^2+y^2=9(1+cosω)^2/64+3(sinω)^2/16
=(9/64)(1+2cosω+(cosω)^2+4(sinω)^2/3))
=(3/64)(3+6cosω+3(cosω)^2+4(sinω)^2)
=-(3/64)((cosω)^2-6cosω-7)
=-(3/64)((cosω-3)^2-16)
=(3/64)(16-(cosω-3)^2)
显然，cosω=1时，(cosω-3)^2有最小值4，x^2+y^2有最大值9/16
x(4x-3)<=0
所以，0<=x<=3/4
x^2+y^2=(-x^2+3x)/3=-(x-3/2)^2/3+3/4在[0，3/4]上为增函数
故x=3/4时，x^2+y^2有最大值=-(3/4-3/2)^2/3+3/4=9/16，此时y=0
方法2:4x^2+3y^2=3x
4x^2-3x+9/16+3y^2=9/16
4(x-3/8)^2+3y^2=9/16
令2(x-3/8)=3cosω/4,√3y=3sinω/4
x=3(1+cosω)/8，y=√3sinω/4
x^2+y^2=9(1+cosω)^2/64+3(sinω)^2/16
=(9/64)(1+2cosω+(cosω)^2+4(sinω)^2/3))
=(3/64)(3+6cosω+3(cosω)^2+4(sinω)^2)
=-(3/64)((cosω)^2-6cosω-7)
=-(3/64)((cosω-3)^2-16)
=(3/64)(16-(cosω-3)^2)
显然，cosω=1时，(cosω-3)^2有最小值4，x^2+y^2有最大值9/16
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- 1楼网友：一叶十三刺
- 2021-01-10 08:38
2a+b=x-y......
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