已知函数f(x)=2+log以3为底x的对数x∈[1,9]求函数y=[f(x)]^2-2f(3x)的最大值及相应的x的值

已知函数f(x)=2+log以3为底x的对数x∈[1,9]求函数y=[f(x)]^2-2f(3x)的最大值及相应的x的值

对于f(x)，x∈[1,9]，则f(3x)中3x∈[1,9]，x∈[1/3 ,3]，则对于函数y=[f(x)]^2-2f(3x)，x∈[1/3 ,3]。

令z=log以3为底x的对数 （为了写着方便我定义z）
x∈[1/3 ,3]，z∈[-1 ,1].
f(x)=2+log以3为底x的对数=2+z
f(3x)=2+log以3为底3x的对数=2+log以3为底3的对数+log以3为底x的对数=2+1+log以3为底x的对数=3+z
y=[f(x)]^2-2f(3x)
=（2+z)]^2-2乘以（3+z）
=z的平方+2z-2
=（z+1）^2-3
z∈[-1 ,1]. 当z=1时，y有最大值1，此时x=3

解:y=[f(x)]^2-2f(3x)=4+2log3(x)+log²3(x)-4-2log3(3x)=2log3(x)+log²3(x)-2-2log3(x)
=log²3(x)-2
∴最大值是当x=9时,y=2²-2=2

令t=log以3为底x的对数，则t∈[0,2]
y=(t+2)²-2*(2+1+t)=(t+1)²-3
t在对称轴右方，故t=0,即x=1时，y取得最小值
t=2即x=9时，y取得最大值

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