曲线积分yds,其中L为心形线r=a(1+cost)的下半部分。 注意：答案是(-16/5)a^2

曲线积分yds,其中L为心形线r=a(1+cost)的下半部分。 注意：答案是(-16/5)a^2

请问，学过第一类曲线积分的极坐标形式么？？用别的坐标做起来会很麻烦

x=r(t)cost.
y=r(t)sint
ds=√[r^2+(r')^2]dt
所以
∫yds=∫(π到2π) a(1+cost)sint√[a^2(1+cost)^2+(-asint)^2]dt

=∫(π到2π) 2a^2(1+cost)sint |cos(t/2)|dt
= -8a^2 ∫(π到2π) (cos(t/2))^4 sin(t/2)dt
=16a^2∫(π到2π) (cos(t/2))^4 dt(cos(t/2))
=16a^2 (cos(t/2))^5/5 |(π到2π)
=-16a^2/5

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