若a,b属于R，a^2+b^2-ab=2，求ab最小值？
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解决时间 2021-02-03 13:07
- 提问者网友：孤山下
- 2021-02-03 06:02
若a,b属于R，a^2+b^2-ab=2，求ab最小值？
最佳答案
- 五星知识达人网友：忘川信使
- 2021-02-03 07:02
设x=a-b,y=a+b
4(a²+b²-ab)=3(a-b)²+(a+b)²
得3x²+y²=8
y²=8-3x²,其中0≤x²≤8/3
4ab=(a+b)²-(a-b)²
=y²-x²=(8-3x²)-x²
=4(2-x²)
即ab=2-x²,且0≤x²≤8/3
得ab≥2-(8/3)=-2/3
且a²=2/3,且b=-a时取“=”
所以ab的最小值是-2/3
4(a²+b²-ab)=3(a-b)²+(a+b)²
得3x²+y²=8
y²=8-3x²,其中0≤x²≤8/3
4ab=(a+b)²-(a-b)²
=y²-x²=(8-3x²)-x²
=4(2-x²)
即ab=2-x²,且0≤x²≤8/3
得ab≥2-(8/3)=-2/3
且a²=2/3,且b=-a时取“=”
所以ab的最小值是-2/3
全部回答
- 1楼网友：轮獄道
- 2021-02-03 07:47
解： 因为，（a-√5b)²=a²+5b²-2√5ab
又因为，任何数的平方大于等于零；
所以，（a-√5b)²≥0即a²+5b²-2√5ab≥0
所以，a²+5b²≥2√5ab
所以，a^2-2ab+5b^2=a²+5b²-2ab
≥2√5ab-2ab=(2√5-2)ab
所以，(2√5-2)ab≤4
两边同除以(2√5-2)，得：ab≤4/(2√5-2)=8√5+8/16=(1+√5)/2
综上所述，ab的最大值为(1+√5)/2，无最小值。
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