一道初中数学证明题.. 求高手帮忙

  如图，△ABC中，CD是AB边上的高，且CD²=AD×BD，求证，△ABC是直角三角形 。

 

请证明详细哦，谢谢。 高手帮忙嗯。

∵ CD²=AD×BD ∴CD：AD=BD：CD 又∵∠CDA=∠CDB ∴△CDA∽△BDC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）∴∠ACD=∠B（两三角形相似，对应角相等）∵∠DCB+∠B=90° ∴∠ACD+∠DCB=90°（等量代换）即∠ACB=90° ∴△ABC是直角三角形

BD²+CD²=BC²

AD²+CD²=AC²

相加得BD²+AD²+2CD²=BC²+AC²

因为CD²=AD×BD，代入得

BD²+AD²+2AD×BD=BC²+AC²

即(BD+AD)²=BC²+AC²

AD²=BC²+AC²

所以，△ABC是直角三角形 。

 因为：CD/AD=BD/CD，角ADC=角BDC 

所以：△ADC与△BCD相似

即 角ACD=角DBC   角CAD=角BCD

使  角ACD+角BCD=角DBC+角CAD

因为 角ACD+角BCD+角DBC+角CAD=180

又因为 角ACD+角BCD=角DBC+角CAD

2（角ACD+角BCD）=180

所以 角ACD+角BCD=90

即ACB=90

所以直角三角形

CD²=AD×BD，即CD/AD=BD/CD

∠CDA=∠CDB=90度

所以△ACD相似△BCD

∠A=∠DCB，∠B=∠ACD

因为∠A+∠B=180-∠ADC=90=∠ACD+∠DCB=∠ACB

所以△ABC是直角三角形 。

角A=90-角B=角BCD

得三角形ACD相似于三角形CDB

所以

AC/CD=CD/BD

所以：CD²=AD×BD

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