F(x)=(a+b-x)f(x),已知f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导， 怎么证明F(x)连续可导？

RT

因为F(x)=(a+b-x)f(x)且f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导

所以F'(x)=(a+b-x)f'(x)-f(x)存在表明F(x)是可导的，现只需说明F'(x)是连续的即可

即需说明：对任意的x0∈(a，b)，当x→x0时，有F'(x)→F'(x0)成立

这很显然，因为对于f(x)而言是连续的，所以当x→x0时，有f(x)→f(x0)成立

而对于f(x)于(a,b)可导，所以f'(x)是连续的，所以当x→x0时，有f'(x)→f'(x0)成立

而函数(a+b-x)也是连续的，故有当x→x0时，有F'(x)→(a+b-x0)f'(x0)-f(x0)=F'(x0)成立

既得：对任意的x0∈(a，b)，当x→x0时，有F'(x)→F'(x0)成立

从而知道F(x)是在(a，b)上连续可导的

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