1*1+2*2+3*3+……+74*74+75*75的简便算法

1*1+2*2+3*3+……+74*74+75*75的简便算法

用前n个正整数的平方和公式1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1*1+2*2+3*3+……+74*74+75*75=75*（75+1）(2*75+1）/6=143450

以下是前n个正整数的平方和公式是的推导
已知，(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
所以(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
依次有n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-2)^2+3(n-2)+1
(n-2)^3-(n-3)^3=3(n-3)^2+3(n-3)+1
………………………………
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
以上的n个等式的两边分别相加得到：
(n+3)^3-1
=3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)
+3(1+2+3+……+n)
+(1+1+……+1)
所以(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+……+n^2)+3n(n+1)/2+n
因此
1^2+2^2+3^2+……+n^2
=[(n^3+3n^2+3n)-3n(n+1)/2-n]/3
=(2n^3+3n^2+n)/6
=n(n+1)(2n+1)/6

平方和公式是一个比较常用公式,用于求连续自然数的平方和(sum of squares),可用来求很多关于平方数的数学题,其和又可称之为四角锥数

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