计算不定积分: （1）∫ 1/（e∧x+e∧-x） dx （2）∫ x²/（16-x²）

计算不定积分: （1）∫ 1/（e∧x+e∧-x） dx（2）∫ x²/（16-x²）∧1/2 dx（3）∫ x arctanx dx

(1)
∫dx/[e^x+e^(-x)]
let
y=e^x
dy =e^xdx

∫dx/[e^x+e^(-x)]
=∫ dy/(y^2 +1)
=arctany + C
=arctan(e^x) + C
(2)
∫ x^2/(16-x^2)^(1/2) dx

let
x=4siny
dx=4cosydy
∫ x^2/(16-x^2)^(1/2) dx
=16∫(siny)^2 dy
=8∫(1-cos2y) dy
=8y - 4sin2y + C
=8arcsin(x/4) - (1/2)x(16-x^2)^(1/2) + C

(3)
∫ x arctanx dx
=(1/2)∫ arctanx dx^2
=(1/2)x^2.arctanx -(1/2)∫ x^2/(1+x^2)dx
=(1/2)x^2.arctanx -(1/2)[∫ dx - ∫ dx/(1+x^2)]
=(1/2)x^2.arctanx -(1/2)x - (1/2)arctanx + C

∫ dx/e^x+e^-x =∫ e^xdx/e^2x+1.............分子分母同时乘以e^x =∫ d(e^x)/(e^x)^2+1 =arctan(e^x)+c

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