已知e1、e2是任意的两个向量，给出下列四个命题：①若e1与e2共线，则e1+e2与e1-e2共线；②若e1与e2不共线，则e1+e2与e1-e2不共线；③若e1+e

已知e1、e2是任意的两个向量，给出下列四个命题：
①若e1与e2共线，则e1+e2与e1-e2共线；
②若e1与e2不共线，则e1+e2与e1-e2不共线；
③若e1+e2与e1-e2共线，则e1与e2共线；
④若e1+e2与e1-e2不共线，则e1与e2不共线．在以上四个命题中，正确的命题有A.①、②、③B.①、②、④C.①、③、④D.①、②、③、④

D解析结论①的正确性：如果e1＝e2＝0，那么e1+e2与e1-e2共线．如果e1、e2至少有一个不是零向量，不妨设e1≠0，那么，由e1与e2共线可知，e2＝λe1(λ∈R)，于是e1+e2＝(1+λ)e1与e1共线，e1-e2＝(1-λ)e1与e1共线，所以e1+e2与e1-e2共线．结论②的正确性：e1-e2≠0是成立的，否则e1＝e2与已知的e1与e2不共线相矛盾．假设e1+e2与e1-e2共线，则e1+e2＝k(e1-e2)(k∈R)，于是(1-k)e1+(1+k)e2＝0，这样就出现了k＝1和k＝-1的矛盾，所以e1+e2与e1-e2不共线．结论③的正确性：如果e1、e2至少有一个是零向量，那么e1+e2与e1-e2共线和e1与e2共线都成立．如果e1≠0，且e2≠0，那么e1+e2、e1-e2至少有一个不为0，不妨设e1-e2≠0，这时，由e1+e2与e1-e2共线可知，e1+e2＝m(e1-e2)(m∈R)，即(1-m)e1+(1+m)e2＝0．假设e1与e2不共线，则m＝1，m＝-1，这与m的存在性是矛盾的，所以，e1与e2共线．结论④的正确性：假设e1与e2共线，则e1与e2可划分为两类，即e1与e2至少有一个是0；或e1≠0，e2≠0，且e1与e2共线．若e1与e2至少有一个是0，则e1+e2、e1-e2共线，这与已知是矛盾的．若e1≠0,e2≠0,且e1与e2共线，则e1＝ne2(n∈R)，这时，e1+e2＝(n+1)e2与e2共线，e1-e2＝(n-1)e2与e2共线，所以，e1+e2与e1-e2共线，这与已知也是矛盾的．综上，结论①、②、③、④都是正确的．

这下我知道了

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