如图、过△ABC的顶点A作∠ABC和∠ACB的外交平分线的垂线AE、AF，垂足分别为E、F，连接EF。求证1.EF//BC。2.EF=二分之一（AB+BC+CA)

如图、过△ABC的顶点A作∠ABC和∠ACB的外交平分线的垂线AE、AF，垂足分别为E、F，连接EF。求证1.EF//BC。2.EF=二分之一（AB+BC+CA)

解：如图，延长AE、AF交BC于G、H

∵BE、CF分别为∠ABG，∠ACH的平分线

∴∠GBE=ABE，∠HCF=∠ACF

∵AE⊥BE，AF⊥CF

∴∠GEB=∠AEB=90，∠HFC=∠AFC=90°

∴在△GEB和△AEB中

﹛∠GBE=ABE

   BE=BE

   ∠GEB=∠AEB

∴△GEB≌△AEB（ASA）

∴GE=AE

∴E为AG的中点

在△HFC和△AFC中

﹛∠HCF=∠ACF

    CF=CF

    ∠HFC=∠AFC

∴△HFC≌△AFC（ASA）

∴HF=AF

∴F为AH的中点

∵E为AG的中点，F为AH的中点    ∴EF为△AGH的中位线

∵△GEB≌△AEB，△HFC≌△AFC    ∴GB=AB，CH=CA

∴EF∥BC，且 EF=二分之一（GB+BC+CH）= 二分之一（AB+BC+CA）

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