若定义在[-2010，2010]上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈[-20

单选题 若定义在[-2010，2010]上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈[-2010，2010]有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2009，且x＞0时有f（x）＞2009，f（x）的最大值、最小值分别为M、N，则M+N=A.2009B.2010C.4020D.4018

D解析分析：令g（x）=f（x）-2009，则由已知可得f（x1+x2）-2009=[f（x1）-2009]+[f（x2）-2009]，即g（x1+x2）=g（x1）+g（x2）且 x＞0时，g（x）＞0，，利用赋值可求g（0）=0；令x1=x，x2=-x，，可得 g（-x）=-g（x），即 g（x）是奇函数，从而有若 g（x） 最大值为m，则最小值为-m，可得f（x）=g（x）+2009 得 f（x） 最大值为m+2009，最小值为-m+2009，代入可求解答：令g（x）=f（x）-2009，则由已知对任意x1，x2∈[-2010，2010]有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2009，f（x1+x2）-2009=[f（x1）-2009]+[f（x2）-2009]，可得g（x1+x2）=g（x1）+g（x2）且 x＞0时，g（x）＞0令x1=x2=0可得g（0）=0?令x1=x，x2=-x，则可得g（0）=g（-x）+g（x）=0，则 g（-x）=-g（x），所以 g（x）是奇函数若 g（x） 最大值为m，则最小值为-m因此，由f（x）=g（x）+2009 得 f（x） 最大值为m+2009，最小值为-m+2009，所以 M+N=m+2009+（-m）+2009=4018故选D点评：本小题主要考查函数奇偶性的应用、利用赋值求解抽象函数的函数值，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，解题的关键是利用构造整体求解，属于中档题．

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