已知点A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ)

（1）若|向量AC|=|向量BC|,求tanθ的值
（2）若（向量OA+2向量OB）.向量OC=1,其中O为坐标原点，求sin2θ的值

（1）向量AC=（2sinθ-1,cosθ)
向量BC=（2sinθ,cosθ-1）
又 |向量AC|=|向量BC|
所以模的平方相等，平方整理后有2sinθ=cosθ
故 tanθ=1/2
(2)易知，向量OA+2向量OB=（1，2）
又（向量OA+2向量OB）·向量OC=1
即 2sinθ+2cosθ=1
两边同时平方后整理得 2sinθcosθ=-3/4
故sin2θ=2sinθcosθ=-3/4

(1) ac = (2sinθ, cosθ) - (1, 0) = (2sinθ - 1, cosθ) bc = (2sinθ, cosθ) - (0, 1) = (2sinθ, cosθ - 1) ∵∣ac∣= ∣bc∣ ∴√[(2sinθ - 1)² + cos²θ] = √[2sin²θ + (cosθ - 1)²] 两边平方, 化简: 4sin²θ - 4sinθ +1 + cos²θ = 4sin²θ + cos²θ - 2cosθ + 1 - 4sinθ = - 2cosθ (cosθ ≠ 0) tanθ = 1/2 (2) 已知条件是(oa + 2ob) • oc = 1吗?? 若是这样的话, 解法如下: [(1, 0) + 2(0, 1)] • (2sinθ, cosθ) = 1 (1, 2) • (2sinθ, cosθ) = 1 2sinθ + 2cosθ = 1 sinθ + cosθ = 1/2 两边平方, 得: (sinθ + cosθ)² = (1/2)² (注意, 此技巧经常会用到:(sinθ + cosθ)²会得到sinθcosθ, 或 sin2θ的条件) sin²θ + 2sinθcosθ + cos²θ = 1/4 1 + 2sinθcosθ = 1/4 1 + sin2θ = 1/4 ∴ sin2θ = -3/4

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