实变函数

实变函数

对正整数k, 定义集合E[k] = {x∈E | f(x) ≥ g(x)+1/k}.
则{x∈E | f(x) > g(x)} = ∪{1 ≤ k} E[k].
只要证明E[k]是零测集, 由可数个零测集之并仍是零测集, 即知{x∈E | f(x) > g(x)}零测.
也即f(x) ≤ g(x), a.e. x∈E.

用反证法, 假设某个E[k]的测度m(E[k]) = δ > 0.
取ε = 1/k > 0, 由f[n]在E上依测度收敛于f, 存在N, 当n > N有:
m({x∈E | |f[n](x)-f(x)| ≥ ε}) < δ.
由B = {x∈E | f[n](x) > g(x)}是零测集, E(k)∩B也是零测集.
于是m(E[k]-B) = m(E(k)) = δ.
而对任意x∈E[k]-B, 有f(x) ≥ g(x)+1/k, 同时f[n](x) ≤ g(x).
相减得f(x)-f[n](x) ≥ 1/k > 0, 于是E[k]-B ⊆ {x∈E | |f[n](x)-f(x)| ≥ 1/k} = {x∈E | |f[n](x)-f(x)| ≥ ε}.
则m({x∈E | |f[n](x)-f(x)| ≥ ε}) ≥ m(E[k]-B) = δ, 矛盾.
因此对任意正整数k, m(E[k]) = 0.
证毕.

另外如果可以用Riesz定理: 依测度收敛的函数列有几乎处处收敛的子列.
取{f[n]}的几乎处处收敛子列{f[n[k]]}, 在除去{f[n[k]]}不收敛到f(x)的零测集,
以及f[n[k]](x) > g(x)的可数个零测集后, 在其余的x∈E处:
f[n[k]](x) ≤ g(x), 且lim{k → ∞} f[n[k]](x) = f(x), 则有f(x) ≤ g(x).
于是f(x) ≤ g(x), a.e. x∈E.

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