已知函数f（x）=ax2-2x+1（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）若13≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值

已知函数f（x）=ax2-2x+1（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）若13≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），求M（a）的表达式；（3）若13≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表达式．

（1）当a=0时，函数f（x）=-2x+1在（-∞，+∞）上为减函数…（2分）
当a＞0时，抛物线f（x）=ax2-2x+1开口向上，对称轴为x＝
1
a
∴函数f（x）在(?∞，
1
a )上为减函数，在(
1
a ，+∞)上为增函数…（4分）
当a＜0时，抛物线f（x）=ax2-2x+1开口向下，对称轴为x＝
1
a
∴函数f（x）在(?∞，
1
a )上为增函数，在(
1
a ，+∞)上为减函数…（6分）
（2）∵f(x)＝a(x?
1
a )2+1?
1
a ，又
1
3 ≤a≤1，得1≤
1
a ≤3
当1≤
1
a ＜2，即
1
2 ＜a≤1时，M（a）=f（3）=9a-5，当2≤
1
a ≤3，即
1
3 ≤a≤
1
2 时，M（a）=f（1）=a-1，
∴M（a）=







a?1，
1
3 ≤a≤
1
2
9a?5，
1
2 ＜a≤1 …（8分）
（3）∵
1
3 ≤a≤1，∴1≤
1
a ≤3
∴N(a)＝f(
1
a )＝1?
1
a
当
1
2 ＜a≤1时，M（a）=f（3）=9a-5，∴

a=0

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