已知数列{an}满足a1=1，且各项均不等于零，an+1+2anan+1-an=0，（n∈N*）（1）求证数列{1an}是等差数列；

已知数列{an}满足a1=1，且各项均不等于零，an+1+2anan+1-an=0，（n∈N*）（1）求证数列{1an}是等差数列；（2）若a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1＞2143，求n的取值范围．

（1）∵数列{an}满足a1=1，且各项均不等于零，
an+1+2anan+1-an=0，（n∈N*）
∴
1
an+1 ?
1
an ＝2，
∴数列{
1
an }是等差数列．
（2）由（1）知，数列{
1
an }是首项为1，公差为2的等差数列，
∴
1
an ＝1+(n?1)?2=2n-1，
∴{an}的通项公式为

an＝
1
2n?1 (n∈N+) ，
∴anan+1=
1
2n?1 ?
1
2n+1 =
1
2 (
1
2n?1 ?
1
2n+1 )，
∴a1a2+a2a3+…+anan+1
=
1
2 (1?
1
3 +
1
3 ?
1
5 +…+
1
2n?1 ?
1
2n+1 )
=
1
2 (1?
1
2n+1 )
=
n
2n+1 ，
∵a1a2+a2a3+…+anan+1＞
21
43 ，
∴
n
2n+1 ＞
21
43 ，解得n＞21，
∵n∈N*，∴n≥22，n∈N*．
∴n的取值范围{n|n≥22，n∈N*}．

（ⅰ）∵an+1＝ an 4an+1 ，∴ 1 an+1 ＝4+ 1 an ，即 1 an+1 ? 1 an ＝4，∴bn+1-bn=4． ∴数列{bn}是以1为首项，4为公差的等差数列．∴ 1 an ＝bn＝1+4(n?1)=4n-3， ∴数列{an}的通项公式为an＝ 1 4n?3 ． （ⅱ）由（ⅰ）知cn＝bn?2n=（4n-3）2n， ∴sn＝1×21+5×22+9×23+…+(4n?3)?2n…① 同乘以2得，2sn＝1×22+5×23+9×24+…+(4n?3)?2n+1…② ②-①得，?sn＝2?(4n?3)2n+1+4×(22+23+24+…+2n) =2?(4n?3)2n+1+ 4×22×(1?2n?1) 1?2 =2-（4n-3）2n+1+16×2n-1-16 =-14+2n+1×（4-4n+3）=-14+（7-4n）2n+1 ∴数列{cn}的前n项和sn＝(4n?7)?2n+1+14

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