线性代数,好难啊

线性代数,好难啊

设x0α+x1Aα+x2A^2α+.+x(m-1)A^(m-1)α=0,证明所有的系数x0,x1,x2,...x(m-1)都等于0.两边用A^(m-1)作用,A^(m-1)(x0α+x1Aα+x2A^2α+.+x(m-1)A^(m-1)α)=0,得x0A^(m-1)α+x1A^mα+x2A^(m+1)α+.+x(m-1)A^(2m-2)α=0.因为A^mα＝A^(m+1)α＝.＝A^(2m-2)α＝0,所以x0A^(m-1)=0,得x0=0.所以,x0α+x1Aα+x2A^2α+.+x(m-1)A^(m-1)α=0变成x1Aα+x2A^2α+.+x(m-1)A^(m-1)α=0.两边继续用A^(m-2)作用,得x1A^(m-1)α+x2A^mα+.+x(m-1)A^(2m-3)α=0,所以x1A^(m-1)α=0,得x1=0.继续对剩下的式子x2A^2α+.+x(m-1)A^(m-1)α=0进行类似处理,得系数x2,...,x(m-1)都是0.所以,α,Aα,A^2α,.,A^(m-1)α线性无关.

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