高等数学微积分中的微分变量的变化实质对求导上的应用上怎么理解?

高等数学微积分中的微分变量的变化实质对求导上的应用上怎么理解?
请给出一个具体的过程,

设一正方形的金属薄片受温度变化的影响,其边
长从x.变化到x.＋△x,问该薄片面积变化了
多少.
这是一个实际问题,S=x^2,因此
△S=S(x.＋△x)-S(△x)
=(x.＋△x)^2-x.^2
=2*x.*△x+△x^2.
2*x.*△x称为△S的线性主部,也就是函数的
微分,因此微分是一个近似值,对于一个函数
y=f(x),dy=A*△x,
△y=A*△x+0(△x),A是常数,0(△x)是比△x的高
阶无穷小,
等式两边除以△x,
△y/△x=A+0(△x)/△x,
当△x趋于0时,lim 0(△x)/△x=0,
因此A=lim(△y/△x)=f'(x.),
也就是dy=f'(x)*dx.

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