设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①c=0时，f（x）是奇函数；②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实根；③f（x）的图象关于（0，c）对

设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：
①c=0时，f（x）是奇函数；
②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实根；
③f（x）的图象关于（0，c）对称；
④方程f（x）=0至多两个实根．
其中正确的命题是A.①④B.①③C.①②③D.①②④

C解析分析：①c=0时，可由奇函数的定义判断正确．③由①可知c=0时，f（x）图象关于原点对称，故f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，故关于（0，c）对称正确；②④中取b=-3，c=2即可判断错误．解答：①c=0时，f（-x）=-x|x|-bx=-f（x），故f（x）是奇函数，故①正确；③由①可知c=0时，f（x）图象关于原点对称，f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，故关于（0，c）对称正确；取b=-1，c=0，则f（x）=x|x|-x=x（|x|-1）=0，x=0或x=±1，故④错误；b=0，c＞0时函数f（x）是一个增函数，故只有一个零点，故②正确故选C点评：本题考查含有绝对值的函数的奇偶性、对称性和零点问题，综合性强，难度较大．

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