已知f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=2 x2?2x．

已知f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=2

（1）∵f（x）在（-1，1）上为奇函数，f（0）=0；
当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），f(?x)＝2x2+2x＝?f(x)；
∴f(x)＝?2x2+2x；
∴f(x)＝

2x2?2xx∈(0，1)
0x＝0
?2x2+2xx∈(?1，0)；
（2）当x∈（0，1）时，由复合函数的单调性可知，f(x)＝2x2?2x在（0，1）上单调递减；
∴f(x)∈(
1
2，1)；
∵f（x）为奇函数，∴当x∈（-1，0）时，∴f(x)∈(?1，?
1
2)；
设y=f（x）；
∴综上所述：f（x）的值域为：{y|?1＜y＜?
1
2或y＝0或
1
2＜y＜1}．

试题解析：

（1）根据已知条件，f（0）=0，设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），所以有f（-x）=2x2+2x=-f（x），这样即可求出x在（-1，0）上的解析式，从而得出f（x）在（-1，1）上的解析式f（x）=

2x2?2x x∈(0，1) 0 x＝0 2x2+2x x∈(?1，0)

；
（2）根据复合函数的单调性判断2x2?2x在（0，1）上的单调性，从而根据单调性求出该函数在（0，1）上的值域，根据奇函数图象的对称性即可求出f（x）在（-1，0）上的值域，又x=0时，y=0，从而求出f（x）在（-1，1）上的值域．

名师点评：

本题考点： 函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．
考点点评： 考查奇函数在原点有定义时，f（0）=0，已知x∈（0，1）上的解析式求x∈（-1，0）上解析式的方法：设x∈（-1，0），-x∈（0，1），将-x带入f（x）在（0，1）上的解析式，然后根据f（x）为奇函数f（-x）=-f（x），从而求出f（x），以及复合函数的单调性，根据函数单调性求值域，奇函数在对称区间上的值域的特点．

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