设f(x)二阶可导，且f``(x)>0,f(0)=0,则F(x)=f(x)/x在(0，正无穷)内单调递增还是递减？

设f(x)二阶可导，且f``(x)>0,f(0)=0,则F(x)=f(x)/x在(0，正无穷)内单调递增还是递减？

F‘(x)=[xf'(x)-f(x)]/x²
令 g(x)=xf'(x)-f(x)，x≥0，则 g'(x)=f'(x)+xf''(x)-f'(x)=xf''(x)≥0
从而 g(x)在[0，+∞)是增，当x>0时，有g(x)>g(0)=0
从而 F'(x)=g(x)/x²>0，F(x)在 (0，+∞)是增

设f(x)=f(x)/x，则 f'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x² 设g(x)=xf'(x)-f(x)，则 g(0)=0-f(0)=0 g‘(x)=f'(x)+xf''(x)-f'(x)=xf''(x) 当x>0时，g'(x)>0恒成立。∴g(x)在[0,+∞)单调增 又∵g(0)=0 ∴g(x)>0在(0,+∞)恒成立，即f'(x)>0在（0,+∞)恒成立 ∴f(x)/x在(0,+∞) 上单调递增

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