已知x1和x2是方程(k2-1)x2-6(3k-1 )x+72=0的两正根,且(x1-1)(x2-

已知x1和x2是方程(k2-1)x2-6(3k-1 )x+72=0的两正根,且(x1-1)(x2-1)=4, 求k的值.

方程有两根，二次项系数≠0，判别式△≥0，两根均为正根，两根之和>0，两根之积>0
k²-1≠0，解得k≠1且k≠-1
△=[-6(3k-1)]²-4(k²-1)·72≥0
k²-6k+9≥0
(k-3)²≥0，不等式恒成立。
由韦达定理得
x1+x2=6(3k-1)/(k²-1)
x1x2=72/(k²-1)
6(3k-1)/(k²-1)>0
72/(k²-1)>0
解得k>1
综上，得k>1
(x1-1)(x2-1)=4
x1x2-(x1+x2)+1=4
72/(k²-1) -6(3k-1)/(k²-1) +1=4
整理，得
k²+6k-27=0
(k+9)(k-3)=0
k=-9(舍去)或k=3
综上，得k=3

方程有两个根 
则判别式=(2k+1)^2-4(k^2+1)=4k-3>=0 
k>=3/4 
x1>1,x2>1 
则(x1-1)(x2-1)>0 
且x1+x2>0 
x1*x2-(x1+x2)+1 
=k^2+1-(2k+1)+1 
=k^2-2k+1>0 
k不为1 
x1+x2=2k+1>0 
k>-1/2 
综上，x>3/4且不为1 
 
x2=2x1, 
x1+x2=3x1,x1*x2=2x1^2 
则2*(x1+x2)^2=9*x1*x2 
即2(2k+1)^2=9(k^2+1) 
解得k=1或7 
再由k的取值范围知k=7

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