高中数学应用题（快）

某平原镇有A、B、C、D四间工厂坐落在边长为2km的正方形顶点上，为了交通畅顺，繁荣经济，镇政府决定建立一个使得任何两间工厂都有通道的道路网. (1)请你设计一个道路网，使它的总长不超过5.5km； (2)请你设计一个总长度最短的道路网.

(1)若沿正方形边界修建道路网，总长8km，远远大于指标，不合要求；若沿正方形的对角线修建道路网，总长为4√2km，向指标逼近了一步，但仍不合要求.

由于正方形的对称性，过它的中心O，作EF∥AB，建一条公共道路EF，设OE=OF=x，则道路网总长度为y=2x+4√[1+(1-x)²] (*)

依题要求有2x+4√[1+(1-x)²]≤5.5，

即48x²-40x+7≤0，

解得：1/4≤x≤7/12.

由此可知，当公共道路长1/2km≤EF≤7/6km，有无数种方案满足要求.

(2)为了求函数的最小值，把(*)化为x的方程

12x²+4(y-8)x+32-y²=0.

∵x∈R⁺，

∴△=16(y-8)²-4×12×(32-y²)≥0，

即y²-4y-8≥0 y≥2+2√3≈5.4642，此时x=-[-4(2+2√3-8)]/(2×12)=1-√3/3≈0.42265.

故当公共道路长为0.8453km时，道路网总长最短，为5.4642km.

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