x^2+y^2=25求3x加4y的最值

x^2+y^2=25求3x加4y的最值

解：
由x²+y²=25，令x=5cosα，y=5sinα
3x+4y
=3·5cosα+4·5sinα
=5(3cosα+4sinα)
=5·√(3²+4²)cos(α-γ)，其中，tanγ=4/3
=5·5cos(α-γ)
=25cos(α-γ)
-1≤cos(α-γ)≤1
-25≤25cos(α-γ)≤25
-25≤3x+4y≤25
3x+4y的最大值为25，最小值为-25

根据勾股定理，3、4、5为勾股数
设x=3 y=4
则3x+4y=25

设x=4 y=3
则3x+4y=24

3x+4y＝a，求a的最大值
x^2+y^2＝5^2是圆，画出来，
y＝-3/4x+a/4 画出来
a/4为直线在y轴上的截距

x²+y²=25，这是一个以(0,0)为原点，5为半径的圆。
求z=3x+4y的最值，即相当于直线y=-3x/4+c的最值，通过平移，可以知道，当直线y=-3x/4+c与圆相切时有最值，此时，假设切点为(a，-3a/4+c)，有
a²+(-3a/4+c)²=25
-3a/4+c=4a/3+c
解得：a=3，或者 a=-3，
c=25/4 c=7/4
-3a/4+c=4 -3a/4+c=-4
即切点为(3，4)或者(-3,-4)
∴zmax=3x+4y=3*3+4*4=25
zmin=3x+4y=3*(-3)+4*(-4)=-25追答你可以辅助画图，比较容易理解，不好意思，我现在手上没纸笔，就不画图了哈

x^2+y^2 =25 (1)
2x+ 2ydy/dx =0
dy/dx = -x/y

S = 3x+4y
dS/dx =3 + 4dy/dx
dS/dx = 0

3 + 4dy/dx =0
3 - 4x/y = 0
3y-4x =0
x= (3/4)y (2)

sub (2) into (1)
x^2+y^2 =25
(9/16)y^2 +y^2 =25
y^2 = 16
y = 4 or -4
(x,y) = (3 , 4 ) or (-3, -4 )

max 3x+4y = 9+16=25
min 3x+4y = -9 -16 = -25

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