设函数f(x)=-x2+4x在[m,n]上的值域是[-5,4],则m+n的取值所组成的集合为？

设函数f(x)=-x2+4x在[m,n]上的值域是[-5,4],则m+n的取值所组成的集合为？

f(x)=-(x-2)^2+4, 故函数有最大值4，仅当x=2时取得最大值。
现在值域包含最大值，故定义域必包含x=2这个点
再由f(x)=-x^2+4x=-5, 解得：x=5, 或x=-1
因此定义域有一个端点必为5或-1， 另一个端点必须在[-1,5]区间内,且区间包含x=2（否则最小值会小于-5）
即[m,n]可为： [m, 5], m为[-1, 2]内任一数，此时m+n的范围是：[4, 7]
[m, n]可为：[-1, n], n为[2, 5]内任一数，此时m+n的范围是:[1, 4]
因此m+n取值范围是：[1,7]

解令f(x)=-x2+4x=-5
即x^2-4x-5=0
即(x-5)(x+1)=0
解得x=5或x=-1
令f(x)=-x^2+4x=4
即x^2-4x+4=0
即(x-2)^2=0
解得x1=x2=2
结合函数f(x)=-x2+4x
知定义域[m,n]
可以为[-1，2]或[2，5]或[-1，5]
解得m+n=1或m+n=7或m+5=4，
故
m+n的取值所组成的集合为{1,7,4}
不好意思这道题我是解错的，
dennis_zyp 解得对，
我的错误算是警示吧。

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