证明在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值
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解决时间 2021-03-28 22:35
- 提问者网友：黑米和小志
- 2021-03-28 00:21
证明在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值
最佳答案
- 五星知识达人网友：詩光轨車
- 2021-03-28 00:56
证明：如果f(x)在[a,b]上无界，则存在序列{xn} s.t.
|f(xn)| -> 无穷。
由聚点原理存在子列{xk}及y s.t. xk -> y。
由连续性f(xk)->f(y)。
但是{xk}是{xn}的子列，所以|f(xk)| ->无穷。矛盾。
下证能取到最小值。设m = inf{f(x): x∈[a,b]}
由下确界定义，存在{xn}s.t. f(xn)->m
仿照上面取y，利用连续性得到f(y) = m。
同理可证最大值追问看不懂
|f(xn)| -> 无穷。
由聚点原理存在子列{xk}及y s.t. xk -> y。
由连续性f(xk)->f(y)。
但是{xk}是{xn}的子列，所以|f(xk)| ->无穷。矛盾。
下证能取到最小值。设m = inf{f(x): x∈[a,b]}
由下确界定义，存在{xn}s.t. f(xn)->m
仿照上面取y，利用连续性得到f(y) = m。
同理可证最大值追问看不懂
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- 1楼网友：杯酒困英雄
- 2021-03-28 03:22
不会……
- 2楼网友：一叶十三刺
- 2021-03-28 01:51
这个没法证明……显而易见……追问这个可以证明的
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