运用洛必达法则解题
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解决时间 2021-11-23 14:08
- 提问者网友：我们很暧昧
- 2021-11-23 08:57
运用洛必达法则解题
最佳答案
- 五星知识达人网友：由着我着迷
- 2021-11-23 09:32
解：原式=e^[lim(x→0)(1/x²)ln(sinx/x)]。
而，lim(x→0)(1/x²)ln(sinx/x)，属“0/0”型，用洛必达法则，
∴lim(x→0)(1/x²)ln(sinx/x)=(1/2)lim(x→0)(xcosx-sinx)/(x²sinx)=(-1/2)lim(x→0)1/(2+xcosx/sinx)=-1/6，
∴原式=e^(-1/6)。
【另外，可用等价无穷小量替换而“简捷”求解。x→0时，sinx~x-(1/6)x³，∴原式=lim(x→0)[1-(1/6)x²]^(1/x²)=e^(-1/6)】供参考。
而，lim(x→0)(1/x²)ln(sinx/x)，属“0/0”型，用洛必达法则，
∴lim(x→0)(1/x²)ln(sinx/x)=(1/2)lim(x→0)(xcosx-sinx)/(x²sinx)=(-1/2)lim(x→0)1/(2+xcosx/sinx)=-1/6，
∴原式=e^(-1/6)。
【另外，可用等价无穷小量替换而“简捷”求解。x→0时，sinx~x-(1/6)x³，∴原式=lim(x→0)[1-(1/6)x²]^(1/x²)=e^(-1/6)】供参考。
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