高中数学不等式

(1) 设a,b,c为正数试证a^12/bc+b^12/ca+c^12/ab>=a^10+b^10+c^10

(2)在三角形ABC中，试证：π/3〈=（aA+bB+cC）/(a+b+c)<π/2

1)a^11,b^11,c^11和a,b,c和a,b,c顺序相同

由排序不等式:顺序和>=乱序和

∴a^11×a×a+b^11×b×b+c^11×c×c>=a^11×b×c+b^11×c×a+c^11×a×b

∴a^13+b^13+c^13>=a^11bc+b^11ac+c^11ab

两边同除abc得 a^12/bc+b^12/ac+c^12/ab>=a^10+b^10+c^10

2)b+c>a(三角形两边之和大于第三边), ∴a+b+c>2a

∴a/(a+b+c)<1/2, 同理b/(a+b+c)<1/2, c/(a+b+c)<1/2

∴(aA+bB+cC)/(a+b+c)=Aa/(a+b+c)+Bb/(a+b+c)+Cc/(a+b+c)<A/2+B/2+C/2=(A+B+C)/2=π/2

a,b,c和A,B,C大小顺序相同,

∴aA+bB+cC>=aB+bC+cA① (顺序和>=乱序和)

   aA+bB+cC>=aC+bA+cB② (顺序和>=乱序和)

   aA+bB+cC=aA+bB+cC③

①+②+③得 3(aA+bB+cC)>=(a+b+c)(A+B+C)=π(a+b+c), ∴(aA+bB+cC)/(a+b+c)>=π/3

综上,π/3<=(aA+bB+cC)/(a+b+c)<π/2

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