已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n-19，bn=2n．将{an}与{bn}中的公共项按照从小到大的顺序排列构
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解决时间 2021-02-26 07:33
- 提问者网友：咪咪
- 2021-02-25 07:58
已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n-19，bn=2n．将{an}与{bn}中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{cn}．（1）试写出c1，c2，c3，c4的值，并由此归纳数列{cn}的通项公式；（2）证明你在（1）所猜想的结论．
最佳答案
- 五星知识达人网友：野味小生
- 2021-02-25 08:42
（1）c1＝b1＝a7＝21，c2＝b3＝a9＝23，c3＝b5＝a17＝25，c4＝b7＝a48＝27，
由此归纳：cn＝22n?1．…（4分）
（2）由an=bm，得n＝
2m+19
3 ＝
2m+1
3 +6，
∴n?6＝
(3?1)m+1
3 ，由二项式定理得
∴n?6＝
C 0
m
3m+
C 1
m
3m?1(?1)1+
C 2
m
3m?2(?1)2+…+
C m?1
m
31(?1)m?1+
C m
m
(?1)m+1
3 ，
∴当m为奇数时，n有整数解，
∴cn＝b2n?1＝22n?1．…（10分）
由此归纳：cn＝22n?1．…（4分）
（2）由an=bm，得n＝
2m+19
3 ＝
2m+1
3 +6，
∴n?6＝
(3?1)m+1
3 ，由二项式定理得
∴n?6＝
C 0
m
3m+
C 1
m
3m?1(?1)1+
C 2
m
3m?2(?1)2+…+
C m?1
m
31(?1)m?1+
C m
m
(?1)m+1
3 ，
∴当m为奇数时，n有整数解，
∴cn＝b2n?1＝22n?1．…（10分）
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