中等代数误差题，怪难
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解决时间 2021-11-15 02:45
- 提问者网友：
- 2021-11-14 05:33
中等代数误差题，怪难
最佳答案
- 五星知识达人网友：迷人又混蛋
- 2021-11-14 06:54
记s=2^{1/2}, a=s-1, b=0.414214，那么0
f(x)=x^3+Ax^2+Bx+C
=(x+A-2)(x^2+2x-1)+(B-2A+5)x+(C+A-2)
=(x+A-2)(x^2+2x-1)+(B-2A+5)(x+1)+(C+3A-B-7)
=(x+A-2)(x^2+2x-1)+u(x+1)+v
其中u=B-2A+5, v=C+3A-B-7
那么 |f(a)|=|u(a+1)+v|=|su+v|
另一方面|f(a)|<=|f(b)|+|f(b)-f(a)|
已知|f(b)|<=2*10^{-6},
而|f(b)-f(a)|<=|b^3-a^3|+10|b^2-a^2|+10|b-a|<=(b-a)(3b^2+20b+10)<=10^{-5}
所以|su+v|=|f(a)|<=1.2*10^{-5}
假定f(a)≠0，那么u,v不全为零，0<|su+v|<=1.2*10^{-5}
注意到|u|<=35, |v|<=57, 有0<|su-v|<=2|u|+|v|<=127
相乘得0<|s^2u^2-v^2|=|2u^2-v^2|<1，但2u^2-v^2是整数，矛盾
所以f(a)=0
这个问题的本质是无理代数数“不能被有理数很好地逼近“，等你有更多知识了可以重新思考一下
f(x)=x^3+Ax^2+Bx+C
=(x+A-2)(x^2+2x-1)+(B-2A+5)x+(C+A-2)
=(x+A-2)(x^2+2x-1)+(B-2A+5)(x+1)+(C+3A-B-7)
=(x+A-2)(x^2+2x-1)+u(x+1)+v
其中u=B-2A+5, v=C+3A-B-7
那么 |f(a)|=|u(a+1)+v|=|su+v|
另一方面|f(a)|<=|f(b)|+|f(b)-f(a)|
已知|f(b)|<=2*10^{-6},
而|f(b)-f(a)|<=|b^3-a^3|+10|b^2-a^2|+10|b-a|<=(b-a)(3b^2+20b+10)<=10^{-5}
所以|su+v|=|f(a)|<=1.2*10^{-5}
假定f(a)≠0，那么u,v不全为零，0<|su+v|<=1.2*10^{-5}
注意到|u|<=35, |v|<=57, 有0<|su-v|<=2|u|+|v|<=127
相乘得0<|s^2u^2-v^2|=|2u^2-v^2|<1，但2u^2-v^2是整数，矛盾
所以f(a)=0
这个问题的本质是无理代数数“不能被有理数很好地逼近“，等你有更多知识了可以重新思考一下
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