解答题设三棱锥V-ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底

解答题 设三棱锥V-ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．

解：自三棱锥的顶点V向底面作垂线，垂足为O，
再过O分别作AB，BC，CA的垂线，
垂足分别是E，F，G连接VE，VF，VG
根据三垂线定理知：VE⊥AB，VF⊥BC，VG⊥AC
因此∠VEO，∠VFO，∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角，
由已知条件得
∠VEO=∠VFO=∠VGO=β，
在△VOE和△VOF中，由于VO⊥平面ABC，
所以VO⊥OE，VO⊥OF又因VO=VO，
∠VEO=∠VFO，于是△VEO≌△VFO
由此得到OE=OF同理可证OE=OG，因此OE=OF=OG
又因OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC，
所以点O是△ABC的内切圆的圆心
在直角三角形VEO中，VO=h，∠VEO=β，
因此OE=hcotβ．即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ．解析分析：先作辅助线，三棱锥的高，斜高，以及斜高在底面上的射影，从而作出侧面与底面所成角的平面角，然后，由余弦函数求得斜高在底面的射影，即底面三角形的内切圆的半径．要注意论证．点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，主要涉及了几何体的高，斜高及在底面上的射影，侧面与底面所成角等问题，考查全面，属中档题．

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