1+1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)+…+1/(n^2)<1-1/n 用数学归纳法证明

n>=2,n∈N*

1.当n=2时，左边=1/2^2=1/4，右边=1-1/2=1/2，左边<右边，成立
2.假设当n=k时，1/2^2+1/3^2+...+1/k^2<1-1/k
所以：当n=k+1时，左边=1/2^2+1/3^2+...+1/k^2+1/(k+1)^2
<1-1/k+1/(k+1)^2
=[1-1/(k+1)]+[1/(k+1)-1/k+1/(k+1)^2]
=[1-1/(k+1)]+(k^2+k-k^2-2k-1+k)/k(k+1)^2
=[1-1/(k+1)]-1/k(k+1)^2
<1-1/(k+1)
得证。

既然是数学归纳法..应该很简单了.. 当n=1时,3n/(2n+1)=1,满足; 若n=k时成立(k≥1),则1+1/2^2+1/3^2+…+1/k^2≥3k/(2k+1); 则1+1/2^2+…+1/k^2+1/(k+1)^2≥3k/(2k+1)+1/(k+1)^2; 3k/(2k+1)+1/(k+1)^2-(3k+3)/(2k+3)=(k^2+2k)/((k+1)^2*(2k+1)*(2k+3))＞0, 故1+1/2^2+…+1/k^2+1/(k+1)^2＞(3k+3)/(2k+3)， 即n=k+1时也成立． over．

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